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數學物理學物理實驗

平均絕對誤差，標準偏差和平均值的標準偏差有什麼區別？？

01-29

還有表達實驗結果一般用哪個

水平不夠，忘見諒。

1,平均絕對誤差：

MAE= $MAE=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}{left| f_{i} -y_{i} ight| } = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}{left|e_{i} ight|}$

$f_{i}$ :預測值

$y_{i}$ :真實值

$e_{i}=left|f_{i}-y_{i} ight|$ 絕對誤差

因此MAE就是指你的預測值與真實值之間平均相差多大。關於這個地方，我建議你看一下最小二乘法。他的理論依據就是去尋找最小的 $S_{E}^2=sum_{i=1}^{n}{e_{i}^2}$ ，隨後又將其分解為兩部分： $S_{T}^2=sum_{i=1}^{n}{(y_{i}-ar{y})^2}$ 反應了Y的觀測值的總離差

$S_{R}^2=sum_{i=1}^{n}{(f_{i}-ar{y})^2}$ 反映了Y的預測值的總離差（也就是回歸直線引起的部分）

從而你要判斷你的回歸是否能接受。

R檢驗法

通過計算 $r^2=frac{S_{R}^2}{S_{T}^2}$ 是否落在拒絕域 $K_{0}={left|r ight|>r_alpha (n-2)}$ 內進行判斷。（ $H_{0}$ ：Y與X線性無關； $H_{1}$ ：Y與X線性相關）

同樣的還有F檢驗法，t檢驗法。

從而就會要求用到樣本方差，樣本均值的分布。而這就是你問的下面的Standard error of sample的用處。

2.1,標準偏差(Standard deviation)

$ullet$ 連續型隨機變數

$sigma =sqrt{var} =sqrt{int_{x}(x-mu)^{2}dx }$

$x_{i}$ ：隨機變數值

$mu=int_{x}xp(x)dx$ ：隨機變數均值

$ullet$ 離散型隨機變數

$sigma =sum_{i=1}^{N}{p_{i}(x_{i}-mu)^2}$

$mu=frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}{x_{i}}$

$p_{i}$ ： $X$ 取值 $x_{i}$ 的概率

因此，標準偏差就是描述在均值周圍的波動情況。 $sigma$ 大則表示你的分布範圍廣且散； $sigma$ 小則表示你的分布範圍窄且聚集。（以上都是在均值一定的情況下的討論）

如下圖（正態分布 $N(10,sigma ^{2} )$ ）：

2.2 標準誤（Standard Error）

$S=sqrt{ {frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-ar{x})^2}}}$

$ar{x}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}{x_{i}}$

其中 $x_{i}$ 為樣本值

S就是當你在 $sigma ^2$ 未知時用來替代的。因為他具有無偏性。

3,平均值的標準偏差（Standard deviation of mean）

$sigma _{mean}=frac{1}{sqrt{n}}sigma$

這個變數是用來表示一組獨立同分布的隨機變數的均值的波動性，也就是均值的精確度。這個在只知道樣本值的情況之下比較好理解些，當你已知一個樣本集合的時候。你通過計算，可以得到很多的樣本均值。但是，這個時候，你並不知道真實的總體均值是多少。從而你就可以利用SEOM進行簡單的預測。當然，隨後的具體是否接受，你還可以用區間估計或者假設檢驗去進行判斷。

同樣的，當 $sigma$ 未知的時候。我們自然也就要用S來替代。

從而Standard error of mean

$SE_{ar{x}}=frac{1}{sqrt{n}}S$

補充平均絕對百分比誤差MAPE=sum[ |fi-yi|*100 / y ] /n

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