泛函分析觀點下的隨機積分 (一)：L2鞅與變差

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需要的概率相關定義和定理：以測度為基礎的概率基本概念與結論

令 $(Omega, mathcal{F}, mathbb{P}; {mathcal{F}_t})$ 為一個filtered概率空間。假設有兩個 ${mathcal{F}_t}$ -adapted隨機過程 $Phi$ 和 $X$ ，我們想要定義一種隨機積分 $int_0^t Phi_sdX_s$ 。為此我們要提出幾個問題：為什麼要定義隨機積分？積分的結果是什麼？我們想要它滿足什麼性質？ $Phi$ 和 $X$ 要滿足什麼條件？

1. 為什麼要定義隨機積分？

從理論出發，會一點統計的同學都知道回歸問題：已知 $y = f(x) + varepsilon$ , 假設 $varepsilon sim mathcal{N}(0, sigma)$ 是噪音，求 $f$ 。同樣的，我們也有ODE問題： $dx_t = mu(x_t),dt$ ，求 $x_t$ 。那麼，我們可以自然而然地考慮這麼一個問題： $dX_t = mu(X_t),dt + sigma(X_t),dB_t$ , 假設 $B_t$ 是某種隨機擾動 (例如，布朗運動)，求 $X_t$ 。為了把這個問題定義好，我們需要定義一種隨機 (微) 積分。這個問題叫做隨機微分方程 (SDE)。

從應用出發，考慮一段離散時間 $0 = t_0 < t_1 < ldots < t_n =t$ ，把 $X$ 想作股價, $X_t$ 是在時間點 $t$ 的價格，把 $Phi$ 想作買賣策略, $Phi_t$ 是在時間點 $t$ 的買賣多少 (正負表示)，目的是研究在時間 $[0,t]$ 總盈虧額隨機變數 $sum_{i=1}^n Phi_{t_{i-1}}(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})$ 。這個式子看起來就是我們熟悉的黎曼和，那自然在連續時間上也應該有和黎曼積分對應的積分，可以用來算連續時間的總盈虧。當然，應用不限於此。

2. 積分的結果是什麼？

首先我們可以肯定的是 $Y_t := int_0^t Phi_sdX_s$ 是一個隨機變數, $Y$ 是一個隨機過程。那麼，有人會想：對每個樣本 $omega in Omega$ , $X(omega)$ 和 $Phi(omega)$ 都是一條路徑，用熟悉的Lebesgue-Steltjes積分，定義 $Y_t(omega) = int_0^t Phi_s(omega) ,dX_s(omega)$ 不就行了？Naive! 問題在於Lebesgue-Steltjes積分需要 $X(omega)$ 至少在 $[0, t]$ 上有界變差 (BV)，然而即便是最重要的布朗運動 $B$ ，它的樣本路徑 $B(omega)$ 是BV的概率為0，甚至對於 $1 le p < 2$ , 它有限 $p$ 次變差的概率都是0。也就是說平常的 $L^1$ 積分理論並不怎麼適用 (事實上有另一種理論叫Rough Path)，而將要講到的It? (伊藤) 積分是一個 $L^2$ 理論。

It?積分出現是在Doob提出鞅之前，這裡以鞅方法為基礎的理論來自於Kunita-Watanabe，核心在於泛函分析里的Hilbert空間理論與等距，為此，我們需要一點 $L^2$ 有界鞅的理論。

$L^2$ 有界鞅，二次變差與bracket過程

Def. 令 $M$ 為一個鞅。若 $M$ 一致 $L^2$ 有界，即 $sup_{t ge 0} mathbb{E}[M_t^2] < infty$ , 把 $M$ 稱作 $L^2$ 有界鞅。把 $L^2$ 有界鞅組成的線性空間記作 $mathbb{H}^2$ ，把連續 $L^2$ 有界鞅組成的線性空間記作 $H^2$ 。

如果 $M$ 是 $L^2$ 有界鞅，可以得出 $M$ 是一致可積的。根據Lévys forward定理，存在 $mathcal{F}_infty$ 可測 $L^2$ 隨機變數 $M_infty$ ，使得 $M_t$ a.s. 與 $L^1$ 收斂於 $M_infty$ 且 $M_t = mathbb{E}[M_infty, |, mathcal{F}_t]$ 。並且也可以推出 $L^2$ 收斂。由此可以看出, $mathbb{H}^2$ 和 $L^2(Omega, mathcal{F}_infty, mathbb{P})$ 這兩個空間有一一對應關係。這樣就可以在 $mathbb{H}^2$ 定義一個內積: $langle M, Nrangle_{mathbb{H}^2} := mathbb{E}[M_infty N_infty] = langle M_infty, N_infty rangle_{L^2}$ 。由於 $L^2(Omega, mathcal{F}_infty, mathbb{P})$ 是一個Hilbert空間, $mathbb{H}^2$ 自然也是一個Hilbert空間。而 $H^2$ 是 $mathbb{H}^2$ 的閉子空間, 所以也是Hilbert空間。(會一點泛函分析的同學會注意到 $L^p$ 收斂一般不會保證連續性，但我們有鞅的Doobs $L^p$ 不等式，可得一個子列上一致a.s.收斂，連續性就有所保證。)

(從現在起，我們只考慮初始值為0的隨機過程，即 $X_0 = 0$ 。這樣的話，對於鞅 $M$ 和所有 $t$ , 有 $mathbb{E}[M_t] = M_0 = 0$ )

以下的結果使得之後的It?積分能夠與Lebesgue-Steltjes積分聯繫起來。

Thm. 令 $M in H^2$ , 則存在唯一(a.s.)一個連續, 初始值為0, ${mathcal{F}_t}$ -adapted隨機過程 $langle M rangle$ 且在有限區間BV，使得 $M^2 - langle M rangle$ 為 ${mathcal{F}_t}$ -鞅 (初始值也是0)。把 $langle M rangle$ 稱作 $M$ 的二次變差過程。
Proof. 因為 $x mapsto x^2$ 是一個非負凸函數，通過Jensen不等式可證 $M^2$ 為一個非負下鞅。用Doob-Meyer分解可得結果。

Doob-Meyer分解得出來的 $langle M rangle$ 實際上是一個連續遞增過程，所以 $langle M rangle_infty := lim_{t to infty} langle M rangle_t$ 必定(a.s.)存在。而根據 $mathbb{H}^2$ 的內積，可以看出 $|M|_{mathbb{H}^2} = sqrt{mathbb{E}[langle M rangle_infty]}$ , 因為分解的鞅部分期望為0。至於為何叫 $langle M rangle$ 二次變差，是因為如下結果：

Thm. 令 $M in H^2$ ， $mathcal{P}_n$ 為 $[0, t]$ 上的一列有限分割，且 $max_{t_i in mathcal{P}_n} |t_i - t_{i-1}|$ 隨 $n to infty$ 趨近於0，則有 $sum_{t_i in mathcal{P}_n} (M_{t_i} - M_{t_{i-1}})^2$ 概率(測度)收斂到 $langle M rangle_t$ ，即對於所有 $varepsilon > 0$ , 有 $lim_{n to infty} mathbb{P}left(left|sum_{t_i in mathcal{P}_n} (M_{t_i} - M_{t_{i-1}})^2 - langle M rangle_t right| > epsilon right) = 0$

二次變差對於隨機過程就好比方差對於隨機變數。由這個類比，我們可以定義類似於 $M, N in H^2$ 的「協方差」: $langle M, Nrangle_t := frac{1}{4}(langle M + Nrangle_t - langle M -N rangle_t)$ ，稱作 $M, N$ 的bracket過程。熟悉線性代數的同學可以看出這個定義有點像二次型，notation也和內積有點像，而事實上，它滿足類似於二次型或者內積的性質：

Thm. 對於 $alpha, beta in mathbb{R}$ , $M, M, N in H^2$ , 有：
1. $langle alpha M + beta M, N rangle =alpha langle M, N rangle + beta langle M, N rangle$
2. $langle M, Nrangle = langle N, M rangle$
3. $langle M, M rangle = langle M rangle ge 0$ 且 $langle M rangle = 0$ 當且僅當 $M = 0$

事實上, $langle M rangle = 0$ 只能推出 $M$ 為常數過程，但我們只考慮初始值為0，就沒有問題。由此可以得到一個類似於Cauchy-Schwarz的不等式

Thm. (Kunita-Watanabe 不等式) 令 $M, N in H^2$ , $X, Y$ 為隨機過程，則有 a.s. $int_0^t |X_s||Y_s|,dlangle M, N rangle_s le left( int_0^t X_s^2 ,dlangle M rangle_s right)^{frac{1}{2}} left( int_0^t Y_s^2 ,dlangle N rangle_s right)^{frac{1}{2}}$

Remark. 這裡所有的積分都是對於每一個樣本的Lebesgue-Steltjes積分。因為所有bracket在 $[0, t]$ 都是BV，所以這幾個積分沒有問題。

還有一個重要結果，便是二次變差和bracket過程對停時反應良好

Thm. 令 $M, N in H^2$ , $tau$ 為一個停時。則有 $langle M^tau, N^tau rangle = langle M^tau, N rangle = langle M, N rangle^tau$ 。

基本上需要的概念差不多了。在下一篇文章，我們會正式定義It?積分，並且回答前面剩下的兩個問題。

下一篇文章：泛函分析觀點下的隨機積分 (二)：It?積分