線性代數（一）矩陣、矩陣乘法的由來

矩陣、矩陣乘法最初的目的是為了解線性方程組。

在現實生活中有很多線性方程組，比如：

1 色彩空間

電視機成像的原理大概是，通過一把電子槍，把電子打到屏幕上：

不過對於這樣的彩色圖片：

根據之前對色彩空間的介紹，我們以 為基，可張成整個色彩空間。

所以，我們可以使用三把電子槍，分別是 ，來呈現出彩色的畫面：

但是，電視台那邊過來的信號不是 ，而是 ，其中 是對色彩空間的另外一種分解方式。

這點從我們電視背後的介面就可以看出，在下圖中標註的色差介面，即 ，其實就是 （兩者的區別不是在色彩分解上，而是電視成像技術中的「逐行掃描」以及「隔行掃描」。也有資料說，一個是數字信號，一個是模擬信號，僅供參考）：

下面是之前彩圖的 分解，第二幅圖就是灰度圖，也就是 ：

這是有原因的，因為最早的電視是黑白電視，升級到彩色電視，但是依然要保持對黑白電視的兼容， 中的 正好是灰度圖，可以讓黑白電視成像。

假如你是黑白電視，背後應該就只有一個視頻輸入介面，只需插入電視台過來的 信號就可以觀看了。

但是，如果是彩色電視，那麼得到電視台傳過來的 信號，就需要解如下方程組得到 ，給三把電子槍使用：

這個方程組怎麼解呢？

2 高斯消元法

已知 求 實際是一個線性方程組，解這種方程組有一個通用的辦法，高斯消元法。

2.1 高斯消元法的目標

之前的方程不好計算了，我們舉一個簡單的例子：

從幾何上來講，兩個方程都是直線，求解方程組就是找到兩根直線的交點：

因為都是直線，所以我們稱為線性方程組。

求解的思路幾乎是句廢話，即找到交點的 坐標：

也就是把方程化成這個樣子：

這就是高斯消元法的目標。

2.2 高斯消元法的思路

要達到這個目標，高斯消元法的思路是，第一行把這些給消了：

第二行把這些給消了：

第三行反過來，把這些給消了：

第二行，把這些給消了：

最後，達到目標：

2.3 例子

下面我們看看怎麼用高斯消元法來解。

先標註一下方程組， 表示第一行， 表示第二行：

表示新的第一行， 表示新的第二行，我們進行以下操作：

其中， 的意思就是：

我們得到新的方程組：

按照這個思路，完整的解題過程如下：

至此，解出答案：

3 標記法

阿瑟·凱萊對於看似簡單的高斯消元法進行了研究，得出了驚人的結果。

他當時研究矩陣的動機出於對線性方程組計算的簡化。

比如，下面是一個線性方程組：

對於這樣一個線性方程組，在固定未知數的順序（ 出現在第一個位置， 出現在第二個位置，常數在等號右邊）後，且保證每個未知數都出現(不出現時，係數為0)，方程組就只需要係數來表示了。

按照上面的規定，方程組可以簡寫為如下數塊：

3.1 練習題

:將

用數塊來表示。

:

在保證順序且每個未知數都出現的原則下，原方程組可改寫為：

因此，方程組寫成數塊形式為：

4 凱萊的高斯消元法

我們開始用凱萊的方法進行高斯消元法。

4.1 方程簡化

還是解之前的方程組：

將方程組簡化為數塊：

之前說過，高斯消元法的目標是：

寫完整點就是：

因此我們的目標就是要把數塊變成下面這個樣子：

對應之前的高斯消元法：

得到結果：

正如你看到的，解起來並不複雜，但是要將過程描述清楚卻很繁瑣，這很不數學。

能不能更優雅的展現這個過程呢？

4.2 數塊乘法

數學家發明了一種數塊的乘法，簡潔地進行高斯消元法。

4.2.1 單行乘法

對於：

用數塊乘法表示為：

4.2.2 多行乘法

對於：

之前的式子都忽略了 ，這裡為了更清晰一些，標註了出來。

它表達了兩個過程。

將此定義為：

其中第一行運算的結果放在第一行，第二行運算的結果放在第二行：

4.3 過程簡化

有了這個運算規則後，整個高斯消元法就可以表示如下:

至此，得到答案：

還可以簡寫如下：

可見，數塊以及對應的乘法，在高斯消元法的過程中，非常簡潔清楚易用。

5 總結

阿瑟·凱萊在1858年的《矩陣理論紀要》的論文中，給這個數塊以合法的數學地位，取了一個名字：矩陣。剛才的數塊乘法自然也被稱為了矩陣乘法。

後面，又發現了現實中有很多線性方程、線性問題（比如微積分），所以又扯出了一大串內容出來。但不管怎麼，都是從這裡開始的。

打一個硬廣，這是《馬同學線性代數基礎班》裡面的內容，對此感興趣的可以到公眾號：「馬同學高等數學「去報名參加。