如何讀懂任何一本書：用謂詞邏輯來理解語文（六）

詞語的不同類型

一般來說，「詞」是語義的最小單位，不過很多漢字可以單獨組成「單字詞」，它們相當於英文里的詞（word），在文言文里很常見。到了現代漢語里，兩字詞或者多字的詞越來越常見。「學習」這個兩字詞拆開來，單獨的「學」和「習」，意思是一樣的。不過「學文習武」這話聽起來就更典雅、文質彬彬，「學習文武」這話意思是一樣的，但就是土裡土氣。

既然詞是語義的最小單位，那我們為什麼還要先在第三篇文字中談論句子，到了第六篇文章才談論語詞呢？

答案不那麼顯然。我之前曾計劃先講探討詞語，討論概念，而後談論句子。後來發現這樣不好。因為句子有真假之分，而詞沒有真假之分。真假之分是我們人類特別關心的事情。一張鈔票是不是假鈔？他人對你的情意是真情實意還是虛情假意？他人給你許下的承諾是真的還是假的？寫在書本中的句子是真信息還是虛假信息？某個商品是假冒偽劣商品還是真品？這些問題都是我們很關心的，不只是哲學家們會關心，科學家們也會關心，普通人也會關心。

不過，不管怎麼說，句子也是由詞構成的。根據組合性原則，句子的意義就是由組成它的詞的意義來決定。對詞的分析如果不是更重要的話，至少也是同樣重要。

我們可以把詞進行分類，分為名詞、動詞、形容詞、副詞、介詞等等。這種語言學上的分類非常麻煩，我們在這裡不採用。提一句只是為了讓讀者知道我不是不知道。

在這裡，我們採用謂詞邏輯的分類，把詞分為4種，分別是個體詞、謂詞、量詞、邏輯聯結詞。如果要說是5種，那麼第5種就是標點符號。如果要說是6種，那麼第6種就是元語言辭彙。這裡先不談元語言辭彙。

什麼是個體詞？

我的房間里有3個移動書架，每個書架算是一個個體，我把它們分別取名為「小明」、「小強」、「小華」，這三個詞就是個體詞。

個體詞，粗略地說，就是東西的名字。

我也是一個東西，所以我的名字也是個體詞。太陽也是一個東西，所以太陽的名字也是個體詞。長城也是一個東西，所以長城的名字是個體詞。孔子也是一個東西，所以孔子的名字也是個體詞。

我手上現在有一本書，是王路寫的《語言與世界》，這本書也是一個東西，那麼這本書的名字也是個體詞。

現在問，這本書叫什麼名字？

有人會說，這本書不是就叫《語言與世界》嗎？

這個回答沒有錯，但不是特別好。因為這本書印刷了成千上萬本，我手上的這本只是其中一本。所以，最好給它取一個獨一無二的名字，以免與其他人手中的《語言與世界》混淆。

所以，我給這本書取名為「小美」。

有人又要問，取名叫「小美」，不會和別的叫小美的東西混淆嗎？有些人叫「小美」，有些人會把自己的寵物貓狗叫「小美。

對於這樣的問題，我拒絕回答。我就是要把它取名為「小美」，這是我的書，我想叫它什麼就叫它什麼。

說回正題。我們現在問，這本書是一個不可分的基本個體，還是可分的複合個體呢？

嚴格來說，這本書是可以繼續分的。它還可以被分成一張又一張紙。這些紙也可以繼續分成一條又一條纖維，然後被分成分子、原子、原子核與電子等等。

當我們說某個東西是一個個體時，這其實是一個很模糊的說法，它不是特別精確。比如說，我把自己稱之為一個個體，那麼我的指甲是我的一部分嗎？如果是，那剪了指甲之後，我是不是就不再完整了呢？

或者說，我肯定會把的左手算作自己的一部分。那萬一出了意外事故，我的左手必須截肢，那截肢後的我和截肢前的我還是同一個個體嗎？如果不是了，那我截肢後是不是就不用還自己截肢前欠下的錢了？反正兩者已經不是同一個體了。

如此可以看出，把什麼東西算作同一個體，這個是要看情況來定的。一般認為，對於買書的人來說，一本書是一個個體，不可以拆開成兩個半本書來賣。但是對於印刷廠的工人來說，一本書就是由一張張紙組成的，它先是一張張紙，然後才裝訂成書。而對於造紙廠的工人來說，那一張張紙並不是基本個體，而是由一卷大紙裁剪成的小紙，那捲大紙才是個體。

大家都用過餐巾紙，有時候我們把一包餐巾紙當作一個個體，有時候我們把一張餐巾紙當作一個個體，有時候我們把不確定數目的多張餐巾紙揉成一個餐巾紙團。所以，最好不要概括地說什麼是「個體」，我們可以在某個具體的情況下說什麼是「個體」。有時候我們可以把唐朝當作一個個體，有時候我們會把「李世民在位期」和「李隆基在位期」當作兩個個體。

既然什麼東西是個體要看情況，那麼什麼東西是個體的名字也要看情況，個體詞是什麼也要看情況。一般說來，個體詞就是可以被命名為「小明」、「小美」的東西。我們通常不會為奇怪的東西取名字，比如把「我的這本書（小美）」和「李世民在位期」以及「華盛頓的假牙」這三個東西組合在一起取一個名字。但是，如果一定要這麼做，也是可以的。我們可以為一個集合取名為「小丑」，這個集合下的元素就是剛剛例舉的那三個風牛馬不相及的東西。這個「小丑」也可以算是一個個體。

所以，個體詞雖然看起來很簡單，但實際上搞懂它，還是需要一點點努力。

接下來，讓我們引入三個符號，來指代不確定的個體。分別是小寫的x、y、z。如果需要更多符號，那就加數字下標，例如x1、x2、x3……

一般會用小寫a、b、c來指代確定的個體，不過我們這裡不管。因為x、y、z也可以指代確定個體，只要不搞混就行了。

不確定個體相當於萬能名字。x它既可以是小美，也可以是小明，還可以是華盛頓的那副假牙，或者是孔子。

什麼是謂詞？

謂詞就是描述了個體性質或關係的詞。我們就可以把謂詞分為兩類，一類叫性質謂詞，一類叫關係謂詞。

現在我們先引入符號來表示謂詞，就用大學的英語字母A、B、C、D、E、F、G，用完了26個英語字母之後，就用漢語算了。

我們來看一句話：「小美是一個長方體」。在這句話中，小美是個體的名字，是個體詞。「是一個長方體」這6個漢字組成了一個謂詞，就叫做A。之所以叫A，是因為剛剛這句話是我寫的，我想叫A就叫A，我想叫B就叫B。

A這個謂詞，表達了一種性質，可以叫做「長方體性質」。這種性質很多東西都有，比如書、大樓、電腦機箱、電腦顯示器等等。

有了A這個謂詞，接下來我們就可以對「小美是一個長方體」這句話進行改寫。我們將其改寫為「Ax」，表示x具備性質A，也就是小美具備長方體性質。

我們再來看另一句話：「小美是一本書」。在這句話中出現了另一個謂詞：「是一本書」。這個謂詞就叫B，理由同上。

同理，我們還可以對小美做出很多形容。比如「小美很美」、「小美很便宜」、「小美很醜」、「小美很貴」等等，可以用C、D、E、F來表示這些謂詞。

機智的小夥伴立即就會察覺到不對勁。「美」、「丑」、「昂貴」、「便宜」這些性質，似乎和「長方體性質」、「書性質」不一樣，它們必須要有對比才能成立，所以，它們嚴格來說是關係，不是性質。

性質和關係最大的差異在於，性質用來描述一個個體，而關係至少要用來描述兩個個體。

所以，嚴格地說，我們不能說「小美很美」，要說「小美比小紅（另一本書的名字）更美」。我們也不能說「小美很貴」，要說「小美比小紅更貴」。但是，這裡也有爭議。「美」真的是關係而不是性質嗎？真的沒有「美」這個性質嗎？很多人都認為「美」是性質，那些美的東西就具備這個性質，那些不美的東西就不具備這個性質。

不過，我們這裡還是把「美」算作關係而不是性質。我認為，嚴格說，所有的性質歸根結底都是關係，不過我們這裡不展開來說。

和個體詞一樣，性質也要因情況而定。「可食用」是一種性質。對於人類來說的「可食用」和對於細菌來說的「可食用」是不一樣的。如果把「性感」算作性質，那麼人類眼中的性感與黑猩猩眼中的性感顯然不同。

回到「小美比小紅更美」和「小美比小紅更貴」這兩句話中來。小美的名字記為x，小紅的名字記為y，更美這個關係記為C，更貴這個關係記為D。那麼上面兩句話就可以改寫成Cxy和Dxy。表示x比y更美，x比y更貴。

這樣改寫有兩大好處，一是節約紙張，二是顯得不明覺厲。

謂詞比個體詞更複雜。像x、y、z這樣三個字母表示的個體詞，通常對應的個體名字用漢語表達，不是特別長。「小美」和「小紅」被改寫成x和y，大家很容易接受。但是像A、B、C、D等字母表示的謂詞，其對應的性質和關係用漢語來表達，可以很長很長。不過大家習慣就好了，接受了這個設定就會覺得它很帶感。

讓我們聯繫一下句子的真值條件來看謂詞和個體詞。像Ax和Cxy這樣的句子，如果x、y和A、C不做任何解釋，那麼它是沒有真假的。我們只知道它表達了x具備性質A和x和y有關係C。但我們不知道x和y是什麼個體，也不知道A是什麼性質，C是什麼關係。我們無從判定這兩個句子的真假。

當我們對個體詞和謂詞這種抽象的符號做出具體的解釋之後，就能明白句子的真假。我們把A解釋為「是《西遊記》中的人物」，x解釋為「諸葛亮」，那麼Ax就是假的。如果我們把x解釋為「豬八戒」，那麼Ax就是真的。

這意味著，解釋非常重要。有解釋才有真假，沒有解釋就沒有真假。好些人都希望佔有「最終解釋權」，這就說明了解釋有多麼重要。一旦擁有最終解釋權，就可以顛倒是非黑白了，你想讓某個句子為真，它就可以被你解釋為真，你想讓它解釋為假，它就解釋為假。

所以，我們千萬不能讓某個個體擁有了最終解釋權。在解釋權這個領域中，最好堅持民主原則，人人都有解釋權。

什麼是量詞？

比起個體詞和謂詞，量詞相對簡單。它只有兩個，一個叫存在量詞，一個叫全稱量詞。前者用?來表示，?就是倒過來的字母E。e是exist的首字母。後者用?表示，?就是倒過來的A。a是all的首字母。

量詞也很容易理解，?xAx就是說，對於所有的x來說，都有性質A。假定我們把A解釋成「長得很漂亮」。那麼?xAx這句話是真是假呢？

很顯然是假的。因為有很多的個體並不漂亮，比如你隨便在路上找一塊石頭，它可能一點都不漂亮。還有很多人、花花草草、畫作、電影等等，也一點都不漂亮。

如果用存在量詞，那麼這句話就是真的了。?xAx就是說，存在個體x，其有性質A。我們至少可以找到一個長得很漂亮的個體，比如一朵美麗的花。

量詞是非常重要的。缺失了量詞的句子，大多沒有真假。比如說，「男人比女人高」這句話，很多人都認為是真的，但實際上它沒有真假，因為它缺少量詞。我們為其補全量詞，有如下四種可能性：

1.?男人比?女人高。意思是說，世界上最高的那個人是男人。

2.?男人比?女人高。意思是說，世界上某一個男人比某一個女人要高。

3.?男人比?女人高。意思是說，世界上最矮的那個男人比最高的女人還高。

4.?男人比?女人高。意思是說，世界上最矮的那個人是女人。

在補全量詞後，四個句子的真假就容易判斷了。但在補全量詞前，「男人比女人高」這句話的真假就很難判斷。

在一個句子中，如果有某個個體詞沒有被量詞所約束，那麼這句話的真假就無從判斷。比如?xCxy這句話中，x被量詞?約束了，但是y沒有被量詞約束，所以這句話的真假無從判斷。?x?yCxy這個句子中，x和y都被量詞?約束了，所以這句話的真假就可以判斷。

什麼是邏輯聯結詞？

我們再來看看常用的邏輯聯結詞。我們可以把這種邏輯聯結詞詞理解成一種數學運算符號。比如，加號「+」就表示把這個小十字左右的量加起來算出總和，而減號「-」就表示用這個小短橫左邊的量減去右邊的量，算出差值。

邏輯聯結詞也是這樣，它們都表示某種運算過程，所以邏輯聯結詞又叫做邏輯運算符。不過，不同於數學運算，邏輯運算的最終結果只有兩種，一種是真，一種是假。我們常常用1來表示真，0表示假。

先來讓我們看看最簡單的一個邏輯聯結詞。「?」表示否定，它的寫法是一橫加一短豎。它的運算很簡單。當Bx是假的時，?Bx就是真的。而當Bx是真的時，?Bx就是假的。

我們再來看看合取，用「∧」表示，它是一個尖頭向上的角。它的運算也很簡單，當Bx和Ax都是真的時，Bx∧Ax就是真的，否則就是假的。也就是說，當Bx或Ax任意一個是假的，或者兩個都是假的，那麼Bx∧Ax就是假的。∧專業的稱呼叫做合取，但我們也可以不嚴謹地稱其為「和」。

提到了「和」，自然就要提到「或」。我們用析取符號「∨」來表示自然語言中的「或」。它和「合取」的寫法相反，是一個尖頭向下的角。它的運算也不複雜，只要Bx或Ax至少有一個是真的，那麼Bx∨Ax就是真的。也就是說，只有當Bx和Ax都是假的時，Bx∨Ax才是假的，否則就是真的。析取符號有時和自然語言的「或者」有差異。比如，我們說小紅會去咖啡店或圖書館，我們是指她要麼去了咖啡店，要麼去了圖書館，而不會同時去咖啡店或圖書館。但是析取符號可以在左右兩邊的式子都為真的情況下，整體也為真。

接下來我們要學到一個非常重要的邏輯聯結詞，叫做蘊含。用「→」表示，也就是向右的一個箭頭。我們用蘊含來表示自然語言中的「如果…那麼」，不過它和「如果…那麼」也有區別。先來看它的邏輯運算功能。Bx→Ax，只有當Bx為真，Ax為假時，整個式子才為假，而其餘3種情況都是真的。當Bx為假，那麼不管Ax是真是假，整個式子都是真的。當Bx和Ax都為真時，整個式子自然為真。

我們還要提到一個邏輯聯結詞，叫做等值，日常讀作「當且僅當」，用「?」表示，也就是一個雙向的箭頭。Bx?Ax，只有當Bx和Ax同時為真或者同時為假時，整個式子才為真。而當Bx和Ax真值不一致時，整個式子就是假的。

最後讓我們再引入一個很重要的符號，那就是等號，用兩條平行的短橫線「=」來表示。在謂詞邏輯里，我們用等號聯結個體詞，就表示兩者相等，兩者一模一樣。而根據萊布尼茨律，如果兩個東西在所有的方面都一模一樣，那麼這兩個東西其實就是同一個東西。所以，當我們說x=y=z時，我們其實是指這x和y以及z是同一個東西。而不等號≠就是表示兩者不相等。

將自然語言翻譯為謂詞邏輯語言

接下來讓我們試著做一些練習。理科生就當是複習，文科生就當是學習。

1.本文的所有讀者都很機智。

2.本文的有些讀者是美女。

3.本文的所有讀者都不是壞人。

4.本文的有些讀者不是壞人。

5.這個世界上存在小女孩。

6.這個世界上不存在龍。

7.所有的小男孩都會發脾氣。

8.所有的小女孩被打擾時就會發脾氣。

9.有一些小女孩是不會發脾氣的。

10.不是所有的小女孩都會發脾氣。

11.有一些小女孩既漂亮又可愛。

12.有些景點要不就是不幹凈，要不就是不好看。

13.玫瑰花和菊花都是花。

14.有一些女孩會很高興，當且僅當有一些玫瑰花很漂亮。

下面是答案：

1.?x(Rx→Sx)。對於所有的x來說，如果x是這本書的讀者，那麼x就很機智。R是reader的首字母，S是smart的首字母。

2.?x(Rx∧Bx)。存在個體x，x是這本書的讀者並且x是美女。B是belle的首字母。

3.?x(Rx→?Vx)。對於所有的x來說，如果x是這本書的讀者，那麼x就不是壞人。V是villain的首字母。

4.?x(Rx∧?Vx)。存在個體x，x是這本書的讀者並且x不是壞人。

5.?xGx。這句話讀作，存在個體x，x是小女孩。G是英文單詞Girl的首字母。以後我不再解釋我為什麼用某個大寫字母表示謂詞了，有些時候是英文單詞首字母，有些時候是漢語拼音首字母。只是同一個字母不要用來表示兩個不同的謂詞，大家意會即可。

6.??xLx，這句話讀作，不存在個體x，x是龍。

7.?x(Bx→Tx)。對於所有的x來說，如果x是小男孩，那麼x就會發脾氣。

8.?x(Gx∧Dx)→Tx)。對於所有的x來說，如果x是小女孩並且x被打擾，那麼x就會發脾氣。

9.?x(Gx∧?Tx)。存在一些x，x是小女孩並且x不會發脾氣。

10.??x(Gx→Tx)，並非對於所有的x來說，如果x是小女孩，那麼x就會發脾氣。

11.?x(Gx∧Px∧Cx)。存在一些x，x是小女孩並且x是漂亮的並且x是可愛的。

12.?x(Vx∧(?Nx∨?Px)。存在一些x，x是景點，並且，x或者是不幹凈的或者是不好看的。

13.?x(Mx∨Jx)→Hx)。對於所有的x來說，如果x是玫瑰或者x是菊花，那麼x就是花。

14.?x(Gx∧Hx)??y(My∧Py)。存在一些x，x是女孩並且x很開心，當且僅當，存在一些y，y是玫瑰並且y很漂亮。

帶有關係謂詞的句子稍微複雜一些，案例如下：

1.每一個人都有自己所愛的人。?x(Hx→?y(Hy∧Lxy)。對於所有的x來說，如果x是人，那麼存在y，y是人並且x愛y。

2.有一些人被所有人愛著。?x(Hx∧?y(Hy→Lyx))。存在x，x是人，並且對於所有的y來說，如果y是人，那麼y愛x。不知道有沒有人會羨慕這樣的x，畢竟x是人人都喜歡的大眾情人。

3.有一些人不愛任何人。?x(Hx∧?y(Hy→?Lxy))。存在x，x是人，並且對於所有的y來說，如果y是人，那麼x不愛y。大家要注意，x自己也是人，所以x連x自己都不愛。

4.每一個愛著某人的人都愛自己。?x((Hx∧?y(Hy∧Lxy))→Lxx)。對於所有的x來說，如果x是人，並且存在y，y是人並且x愛y，那麼x就愛x。

5.不愛自己的人不會被任何人愛。?x((Hx∧?Lxx)→?y(Hy→?Lyx))。對於所有的x來說，如果x是人並且x不愛x，那麼對於所有的y來說，如果y是人，那麼y不愛x。如果這句話是真的，如果大家希望有人愛自己的話，那麼首先就要做到自愛。

6.有一些人比任何人都要高。?x(Hx∧?y(Hy→Gxy))。存在x，如果x是人，並且對於所有的y來說，如果y是人，那麼x比y高。不過這句話必然是假的，因為哪怕是世界上最高的人，也不可能比自己還高。

7.沒有一個不愛男孩的女孩會愛上一個愛著某個男孩的女孩。?x?y(((Gx∧?v(Bv→?Lxv))∧(Gy∧?z(Bz∧Lyz)))→?Lxy))。我已經不想用標準的讀法來讀這個公式了，實在是太麻煩了。大家可以試著把握一下整個式子的結構。首先根據括弧判斷運算的先後順序，從而看出它本質上是一個蘊含式，後件是x不愛y，而前件則是對x和y的刻畫。x就是那個不愛男孩的女孩，而y就是那個愛著男孩的女孩。而當x和y同時滿足（用合取來表達）這些條件時，就能夠推出x不愛y。不嚴謹地說，這句話可以表達，一個同性戀的女孩不會愛一個異性戀的女孩。

帶有等號的句子會更複雜一些，如下：

1.小明唯一愛的人就是小美。Lbc∧?x(Lbx→x=c)。小明和小美分別用個體常項b和c表示。整個式子讀作，小明愛小美，並且對於所有的x來說，如果小明愛x，那麼x等同於小美。

2.《命名與必然性》的作者是索爾·克里普克。?x(Wxn∧?y(Wyn→x=y)∧x=k)。《命名與必然性》這本書用個體常項n表示，克里普克這個人用k表示。整個式子讀作，存在x，x寫了n，並且對於所有的y來說，如果y寫了n，那麼x=y，並且x=k。

3.珠穆朗瑪峰是世界最高峰。Ma∧?x((Mx∧x≠a)→Gax)，珠穆朗瑪峰用個體常項a表示，這句話的意思是，珠穆朗瑪峰是一座山，並且對於所有的x來說，如果x是一座山並且x不等於a，那麼a比x高。也就是珠穆朗瑪峰比其他所有山都高。大家也可以用?(x=a)來表示不等於，這樣會少一個專門的不等號，但是會多一些括弧。

3.最多只能有一個冠軍。?x?y((Cx∧Cy)→x=y)。對於所有的x和所有的y來說，如果x是冠軍並且y是冠軍，那麼x等於y。這樣就能保證不會有第二個冠軍出現。

4.最多可以有兩個贏家。?x?y?z((Wx∧Wy∧Wz)→(x=z∨x=y∨y=z))。對於所有的x和所有的y以及所有的z來說，如果x是贏家並且y是贏家並且z是贏家，那麼或者x等於z，或者x等於y，或者y=z。這樣就能保證當可能出現第三個贏家的時候，限定它和前兩個贏家中的某一個相等，這樣就不會有第三個贏家了。而這句話在現實中只一個贏家甚至沒有贏家時，也是成立的。

5.最少有兩個贏家。?x?y(Wx∧Wy∧x≠y)。存在x也存在y，x是贏家並且y是贏家並且x不等於y。這樣能保證最少也有兩個贏家。

6.有且只有2個贏家。?x?y((Wx∧Wy∧x≠y)∧?z(Wz→(z=x∨z=y)))。存在x也存在y，x是贏家並且y是贏家並且x不等於y，並且對於所有的z，如果z是贏家，那麼z或者等於x或者等於y。有且只有2個贏家其實就是最多有兩個贏家並且最少有兩個贏家。

不想學謂詞邏輯，但也想思考問題時保持清晰和嚴謹，怎麼辦？

很多人一看到數學公式就頭痛，有沒有什麼辦法，可以不深入學習謂詞邏輯，也能讓自己的思維變得更加清晰和嚴謹呢？

我一時半會沒有想到好方法。不過，如果總結謂詞邏輯和自然語言的差異，我們可以得出下面幾條經驗之談：

1.注意量詞的補全。

很多人在說話時，不注意量詞，不會刻意加「所有」或「有些」這樣的詞。不加量詞的句子沒有真值條件。所以，我們要學會補全量詞。而且，有時候量詞是「有些」，那我們還要繼續追問，有哪些？有多少？有1%也是「有些」，有99%也是「有些」。

2.把句子寫明確，別害怕出錯。

一句話越模糊，就越不容易錯。很多人怕出錯，尤其怕出了錯被別人指出來，所以喜歡說一些含糊其辭的話，一些模糊到你不知道其真假的話。一旦把句子說精確後，就容易被別人指出錯誤。所以，要想思考問題時保持清晰和嚴謹，我們首先要做到不怕出錯，更不要怕別人指出自己出錯。

3.確保自己在談論具體的個體，而不是抽象的性質或關係。

一階謂詞邏輯的一個特徵，就是不談論性質的性質，不談論關係的關係。這樣就不容易出錯。比如說，「善良是一種可貴的品質」這句話中，善良是一種性質，可貴也是一種性質，這就是算是在談論性質的性質，很麻煩。所以，我們最好把它改寫成：如果一個人是善良的，那麼這個人值得表揚。這樣就是在談論人這樣的具體個體，而不是在談論善良這種看不見摸不著的性質。

4.不要打比方，不要用文采飛揚的隱喻義，盡量用字面意義來說話。

如果追求嚴謹，那麼很難不犧牲文采。像「飛流直下三千尺、疑似銀河落九天」這樣的句子，很美，但是不嚴謹。流水並沒有真的「飛」，而且長度也沒有「三千尺」，看起來像不像銀河，那就更模糊了。如果能兼得嚴謹與文采，那很好。無法兼得，那就犧牲文采。

5.千萬不要以為上面四點很容易做到，它們真的非常難做到。

後記：原諒我偷個懶，本文部分內容直接來自我以前寫過的文章和書。而且，本文的內容還是不夠通俗易懂，我以後再改。

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