協方差矩陣與相關性

01-29

$p$ 維隨機列向量: $X=begin{bmatrix} X_1 ... X_p end{bmatrix}$

如果 $X$ 的每一個分量都服從正態分布，那麼 $X$ 的概率密度函數為：

$f(X)=frac{1}{(2pi)^{p/2}|Sigma |^{1/2}}exp[-frac{1}{2}(X-mu)^{T}Sigma^{-1}(X-mu)]$

$Sigma=begin{pmatrix} sigma_{11} &sigma_{12} & ...&sigma_{1p} sigma_{21} &sigma_{22} & ...&sigma_{2p} ... &... & ...&...sigma_{p1} &sigma_{p2} & ...&sigma_{pp}end{pmatrix}$

$sigma_{ij}=cov(X_i,X_j)=E[(X_i-E(X_i ))(X_j-E(X_j))]=E[(X_i-mu_i)(X_j-mu_j)]$

記為： $Xsim N_p(mu,Sigma)$

其中， $mu$ 為 $X$ 的數學期望. $Sigma$ 稱為 $X$ 的協方差陣, $sigma_{ij}$ 為 $X_{i}$ 與 $X_{j}$ 的協方差.

未完待續.