Gauss與AGM(I)

01-29

1796年9月9日，哥廷根數學系學生Gauss在日記本上寫下了函數

$int_0^xfrac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^3}}$ 的反函數的級數展開式。他在同年的另一份稿件[題名為Exercitationes Mathematicae, "數學練習"]中，也寫下了 $int_0^xfrac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ 的反函數的級數展開。

如果給定函數 $int_0^xfrac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^2}}$ ，我們很清楚它的反函數的級數展開形式是什麼樣子。直接利用正弦函數的性質就可以了。對於Gauss給出的函數，我們怎麼去做級數展開呢？

問題：給定級數 $w=f(z)=sum_{i=1}^{infty}a_iz^i$ ,(不妨設 $a_1=1$ ) 試求其反函數在w=0處的級數展開 $z=sum_{i=1}^{infty}b_iw^i$ 。

最直接的辦法莫過於直接套用反函數的定義，也就有 $z=sum_{i=1}^{infty}b_ileft(sum_{j=1}^{infty}a_jz^jright)^i$ ,兩邊對比各項係數，解關於 $b_i$ 的線性方程組就可以求出所有待定的係數。但這種方法實在是太笨重了。有沒有更好的演算法呢？

解法(Lagrange, 1768): 假設 $alpha$ 是 $w=f(z)$ 的一個根。那麼

$-w+sum_{i=1}^{infty}a_iz^i=(z-alpha)sum_{i=0}^{infty}c_iz^i$ 。

在級數兩側除以 $z$ ，令 $xi=-sum_{i=1}^{infty}a_{i+1}z^i$ 。在等式兩側取自然對數，我們有

$log(1-frac{w}{z})+log(1-frac{xi}{1-w/z})=log(1-frac{alpha}{z})+logleft(sum_{i=0}^{infty}c_iz^iright)$ .

展開所有含自然對數的項，我們就有

$sum_{k=1}^{infty}frac{1}{k}left(frac{w}{z}right)^k+sum_{k=1}^{infty}frac{1}{k}left(frac{xi}{1-w/z}right)^k=sum_{k=1}^{infty}frac{1}{k}left(frac{alpha}{z}right)^k+cdots$

如果對比兩側z的負冪次係數，我們立刻就可以得到 $alpha^k$ 的級數展開。對等比級數反覆求導，我們有

$(1-x)^{-l}=sum_{i=0}^{infty}{i+l-1choose l-1}x^i$ .

將這個級數代回，與 $xi^l$ 的展開相乘，通過計算可以得到 $left(frac{xi}{1-w/z}right)^l$ 中 $z^{-k}$ 項的係數為 $frac{1}{(l-1)!}frac{mathrm{d}^{l-1}}{mathrm{d}z^{l-1}}left(z^{k-1+l}xi^lright)_{vert z=w}$ [註：今天我們可以用留數定理檢驗計算的正確性，但在Lagrange的時代沒有這種工具，因此平添不少麻煩]。因此我們得到Lagrange的

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定理：反函數的級數展開為 $w+sum_{l=1}^{infty}frac{1}{l!}frac{mathrm{d}^{l-1}}{mathrm{d}z^{l-1}}left((z-f(z))^lright)_{vert z=w}$ 。

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[註：Lagrange的證明與同時代許多關於級數的證明一樣，缺少對級數收斂性的考察。按照Whittaker和Watson的著名教材的處理手法，我們應當考察積分

$oint_{C}log(frac{f(z)-w}{z-w})mathrm{d}z$ ( $C$ 是某個合適的圍道)以便推出Lagrange的定理。我們把這個交給讀者作為練習。

Gauss在利用這個定理完成級數的展開[見Gauss全集第十卷，第一冊146頁Gauss的演算]之後，曾經尋求過其他的證明。他在1796年12月27日的日記中就宣稱找到了Lagrange展開的新證明。]

1797年年初，Gauss對雙紐線積分就變得嚴肅起來。如果說之前的級數展開不過是練習，那麼從這年1月8日的記錄開始，Gauss就正式投入對雙紐線積分的研究當中。Gauss數學日記中 1797年1月8日的記錄是這樣的：

Curvam [elasticam](此處Gauss划去) lemniscatam a $intfrac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ pendentem perscrutari coepi.
開始系統研究依賴於 $intfrac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ 的[彈性曲線]雙紐線。

為什麼Gauss划去「彈性曲線」這個詞呢？最大的可能性是Gauss對Euler的工作非常熟悉。哥廷根大學的藏書中包含Euler的著作，其中關於雙紐線積分就有我們這裡提過的1752-53年的工作以及1786年發表的工作，還有一本重要的專著E342 -- Institutionum calculi integralis volumen primum[積分學基礎(共三卷)]，第一卷第二部分第六章有一節內容專門處理1753年的工作所涉及的微分方程。兩類曲線當然都涉及到積分 $intfrac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ ，但Euler 1752-53年關於雙紐線的工作具有絕對理論上的重要性，因此Gauss划去彈性曲線一詞也就顯得順理成章了。

[補註：根據Dunnington撰寫的Gauss傳記的記錄，Gauss確實在1797年1月2日從圖書館借出了Euler的書。]

Gauss從Euler那裡繼承了這樣的課題：

[Analysis]代數積分 $int_{0}^{z}frac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ 的分析學研究；
[Arithmetic]雙紐線弧長的等分，這本質上是一個數論問題。

以及Euler的類比： $int_{0}^{z}frac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ 與 $int_0^zfrac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^2}}$ 有著類似的性質。

但Gauss看到了Euler所沒有看到的東西：

Euler斷言，對於 $int_{0}^{z}frac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ 我們尚不具備 $int_0^zfrac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^2}}$ 的反函數——正弦函數的類似物，因此類似於三角函數的分析對 $int_{0}^{z}frac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ 可能是行不通的。但Gauss可以利用Lagrange方法對反函數進行數值計算，所以可以猜測，這是Gauss想到求雙紐線積分反函數的動機之一；
$frac{1}{sqrt{1-x^2}}mathrm{d}x=frac{n}{sqrt{1-z^2}}mathrm{d}z$ (n是奇數)有解 $x=R_n(z)$ ，R是n次多項式。這個多項式的n個根自然對應單位圓n等分點的n個縱坐標。我們在這裡提過，對於 $frac{1}{sqrt{1-x^4}}mathrm{d}x=frac{n}{sqrt{1-z^4}}mathrm{d}z$ ，它的代數解是 $x=frac{P_n(z)}{Q_n(z)}$ 。Gauss計算過n=5時P的表達式： $P_5(z)=z(5-2z^4+z^8)(1-12z^4-26z^8+52z^{12}+z^{16})$ 它有5個實根，20個虛根。5個實根對應雙紐線的五等分點，那剩下的20個虛根(例如， $z^4approx -52.49cdots$ )對應的是什麼？這就促使高斯研究復變數的積分 $int_{0}^{z}frac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ 。

這兩個觀察結合就得到二三十年後Abel和Jacobi的金點子：在複數域上研究 $int_{0}^{z}frac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}$ [以及更一般的代數積分的]反函數[Jacobi的格言："man muss immer umkehren(Invert, always invert)"]。但是這裡我們必須要提到Klein對Jacobi和Abel工作的一個評論，這個評論恐怕對Gauss本人也部分適用[摘自Felix Klein《數學在十九世紀的發展》第三章，譯文來自齊民友先生的譯文，高等教育出版社，2010]：

Bei einem so heftigen gewaltsamen Vorw?rtsstürmen der wissenschaftlichen Entwicklung darf es nicht wundernehmen, wenn im einzelnen noch manches unvollkommen blieb. Als eine wesentliche Lücke der Theorie bei Abel sowohl wie bei Jacobi ist es anzusehen, da? ein Beweis für die Eindeutigkeit der durch Inversion gewonnenen Funktionen auch im elliptischen Fall, ja auch nur das Bedürfnis danach, v?llig fehlt. Die Unkenntnis dieser Seite des Problems war es, was Jacobi im Fall der hyperelliptischen Integrale, wie wir sahen, in Irrtümer verstrickte.
在對一個科學問題所進行的如此猛烈而有力的進攻中，許多細節尚不完備也就不足為奇了。在阿貝爾和雅可比的理論中，一個本質的疏漏就是，他們都沒有看到，甚至在橢圓積分這個簡單情況下，也有必要證明由反演所得的函數是單值函數。當然也就說不上去證明它了。我們已經看到，正是這一點使得雅可比在超橢圓積分情況下陷入困境。

[註：之所以說這個結論對Gauss部分適用，是因為Gauss在一篇關於雙紐線積分的未完成稿件中(Gauss全集第三卷，406頁)有過對反函數級數收斂半徑的討論。但Gauss只給出了收斂半徑的上界。如果他給出了收斂半徑的具體值(其實他給出的上界正是收斂半徑本身)並給出證明，那麼Klein的批評就不適用於Gauss。但是Gauss的文章就在這裡戛然而止。]

嚴格解決這個問題要等到很久以後。當1900年高木貞治在哥廷根的時候，Hilbert在與他的談話中提到了下面的命題：

命題： $f(z)=int_{0}^{z}frac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}=z+frac{1}{2}cdotfrac{1}{5}z^5+frac{1cdot 3}{2cdot 4}cdotfrac{1}{9}z^9+cdots$ 在開圓盤 $|z|<1$ 上單值解析，在閉圓盤 $|z|leq1$ 上連續。那麼這個冪級數一對一地把閉圓盤 $|z|leq1$ 映射到一個正方形，這個正方形的四個頂點分別為 $pm varpi/2,pm ivarpi/2.$
其中 $varpi/2=int_{0}^1frac{mathrm{d}u}{sqrt{1-u^4}}=1.311028cdots$ 是Stirling算出的常數。
[注意這裡的記號。 $varpi$ 是 $pi$ 的變體。]

這是1869年Hermann Schwarz得到的結論。我們把這個問題交給讀者來完成。

Gauss在哥廷根時期的記錄除了他的私人數學日記以外，還有一本Leiste編著的算術書。這本書里有很多白頁，方便讀者記筆記之用。Gauss就在自己的這本書上寫下了很多公式和筆記。這本書的大多數記錄來自Gauss的中學時代到1798年。其中一條記錄是這樣的[Gauss全集，第十卷第一冊，147頁]：

這有可能是Gauss閱讀Euler著作後寫下的筆記[2017. 12. 22 補註：Gauss肯定看過Euler的1752年的文章。他的Leiste筆記上直接摘抄了Euler1752年加法定理文章開頭一段的部分內容。]。根據Euler1752年版本的加法定理，我們可以把Euler的加法定理改造如下：設

$u=z+frac{1}{2}cdotfrac{1}{5}z^5+frac{1cdot 3}{2cdot 4}cdotfrac{1}{9}z^9+cdots, vert zvert< 1$ 的反函數為 $s(u)$ [根據Schwarz，這個反函數是單值的]，並且記 $c(u)=sqrt{frac{1-s(u)^2}{1+s(u)^2}}$ [注意Gauss符號的選取，很顯然在記號的選取上他都刻意向三角函數靠攏]。那麼Euler的加法定理斷言：

$begin{align}s(u+v)&=frac{s(u)c(v)+c(u)s(v)}{1-s(u)s(v)c(u)c(v)}c(u+v)&=frac{c(u)c(v)-s(u)s(v)}{1+s(u)s(v)c(u)c(v)}end{align}$

根據反函數的定義我們有 $s(varpi/2)=1,s(ivarpi/2)=i.$ 同時有 $c(varpi/2)=0,c(ivarpi/2)=infty.$ 那麼根據加法定理，我們可以立刻得到

$begin{cases} s(u+varpi/2)=c(u), c(u+varpi/2)=-s(u), s(u+ivarpi/2)=i/c(u), c(u+ivarpi/2)=-i/s(u). end{cases}$

結合上面Schwarz的命題，我們可以從這幾個關係式得到：

$s(u),c(u)$ 是可以解析開拓到整個複平面的半純函數，兩者都具有周期 $2varpi,2ivarpi$ .
$s(u)$ 的全部零點為 $(m+in)varpi,m,nin mathbb{Z}$ , 極點為 $(m+in)varpi/2,m,nin 2mathbb{Z}+1$ 。[其實這些零點和極點都是一階的]這就給出了題圖的含義。 $c(u)$ 的零點和極點可以由 $s(u)$ 零點與極點平移 $varpi/2$ 得到。

Gauss應當在1797年3月的時候就已經知道，雙紐線函數是雙周期[半純]函數。雙紐線等分實際上等價於解方程 $s(Nu)=0,$ $N$ 是整數。那麼此時有 $u=frac{(m+in)varpi}{N},m,nin mathbb{Z}$ 。 $s(u)$ 在這些點上不同的取值剛好就是 $N^2$ 種[為什麼？]。上面的推理對於 $c(u)$ 也是正確的。這樣Gauss 1797年3月19日的日記內容就可以得到解釋。

思考題：我們在這裡提到過Gauss寫下的五倍弧長公式[見Gauss文集第三卷，405頁] $u=zcdotfrac{5 - 2 z^4 + z^8}{1 - 2 z^4 + 5 z^8}cdotfrac{1 - 12 z^4 - 26 z^8 + 52 z^{12} + z^{16}}{1 + 52 z^4 - 26 z^8 - 12 z^{12} + z^{16}}$ 。分子的係數看上去可以通過倒轉分母的係數得到。這是巧合嗎？