代數餘子式、古典伴隨陣、體積、法向量

01-29

假設 $mathbf{A}$ 是一個 $n$ 階方陣，將矩陣中元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去後，剩下的 $n-1$ 階方陣的行列式稱作元素 $a_{ij}$ 的餘子式（minor），記作 $M_{i,j}$ ；而 $(-1)^{i+j}M_{i,j}$ 稱作做元素 $a_{ij}$ 的代數餘子式（cofactor ），記作 $C_{i,j}$ 。

拉普拉斯展開（Laplace expansion）： $mathbf{A}$ 的行列式值可以表示成關於任一行（或任一列）的 $n$ 個元素與其對應的代數餘子式的積的和。（不證明了，代數書上都有，直接套定義就行）

即對於任意的 $1leq ileq n$ ， $|mathbf{A}|=sum_{j=1}^{n}{a_{ij}C_{ij}}=sum_{j=1}^{n}{a_{ji}C_{ji}}$ 。

記 $mathbf{A}$ 的各列向量為 $mathbf{A}=(alpha_1,alpha_2,...,alpha_n)$ ，則 $alpha_i=(a_{1i},a_{2i},...,a_{ni})^T$ 。記 $beta_i=(C_{1i},C_{2i},...,C_{ni})^T$ ，則對於所有 $1leq ileq n$ 都有 $|mathbf{A}|=langlealpha_i,beta_irangle$ 。

若 $1leq ine jleq n$ ，考察 $langlealpha_j,beta_irangle$ ，由於代數餘子式只和 $a_{ij}$ 的位置有關而與 $a_{ij}$ 的值無關，因此 $langlealpha_j,beta_irangle$ 等於將 $mathbf{A}$ 的第 $i$ 列換做第 $j$ 列所得矩陣 $mathbf{B}$ 的行列式——而這個矩陣中有兩行完全相同，因此行列式必然為 $0$ ，也即 $langlealpha_j,beta_irangle=0$ 。

可得 $langlealpha_j,beta_irangle=langlebeta_i，alpha_jrangle=delta_{ij}|mathbf{A}|$ 。

$mathbf{A}$ 的代數餘子式矩陣（cofactor matrix ）定義為 $mathbf{C}=(C_{ij}) ={begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&cdots &C_{1n}C_{21}&C_{22}&cdots &C_{2n}vdots &vdots &ddots &vdots C_{n1}&C_{n2}&cdots &C_{nn}end{bmatrix}}$ ， $mathbf{A}$ 的古典伴隨矩陣（classical adjoint matrix）定義為 $mathbf{A}^*=mathbf{C}^T$ 。

於是 $mathbf{C}^Tmathbf{A}^*=(beta_i^Talpha_j)=|mathbf{A}|mathbf{I}_n$ 。當 $mathbf{A}$ 可逆時， $mathbf{A}^{-1}=frac{1}{|mathbf{A}|}mathbf{A}^*$ 。

以上是一些「大路」結果，下面我要說一些不一樣的了：

令 $mathbf{V}=(x_1,x_2,...,x_n)$ （坐標變數的向量），那麼 $(alpha_2,alpha_3,...,alpha_n)$ 構成的平行體的方程就是 $left| mathbf{V},alpha_2,alpha_3,...,alpha_n right| =0$ （我不推導了）。記 $B_1x_1+B_2x_2+...+B_nx_n=left| mathbf{V},alpha_2,alpha_3,...,alpha_n right|$ ，則 $B_i$ 事實上就是代數餘子式 $C_{i1}$ ，於是 $(B_1,B_2,...,B_n)^T=beta_1=(C_{11},C_{21},...,C_{n1})^T$ 。

此外，設 $alpha_1=(a_{11},a_{21},...,a_{n1})^T$ ，則可以計算出來 $alpha_1$ 到這個平行體的距離是 $frac{text{abs}(B_1a_{11}+B_2a_{21}+...+B_na_{n1})}{sqrt{B_{1}^2+B_{2}^2+...+B_{n}^2}} =frac{text{abs}(langlealpha_1,beta_1rangle)}{|beta_1|} =frac{text{abs}(det(mathbf{A}))}{|beta_1|}$ 。

而由於 $text{abs}(det(mathbf{A}))$ 就是 $alpha_1,alpha_2,...,alpha_n$ 形成的 $n$ 維平行體的 $n$ 維體積，所以——

$|beta_1|=sqrt{C_{11}^2+C_{12}^2+...+C_{1n}^2}=sqrt{M_{11}^2+M_{12}^2+...+M_{1n}^2}$ 就是 $(alpha_2,alpha_3,...,alpha_n)$ 構成的平行體的 $n-1$ 維體積。

更加一般情況的推廣就不證明了：

$n$ 維向量組 ${alpha_1,alpha_2,...,alpha_k}$ 組成的 $k$ 維體積等於矩陣 $(alpha_1,alpha_2,...,alpha_k)$ 中所有 $k$ 行 $k$ 列子矩陣的行列式的平方和的平方根。——上一次談到的「體積的遞歸定義」也可以如此計算。

例如：

$left(begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 1 & 3 & 5 & 7 end{matrix}right)$ 中所有2行2列子矩陣的行列式為 $left|begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 end{matrix}right|=1$ 、 $left|begin{matrix} 1 & 3 1 & 5 end{matrix}right|=2$ 、 $left|begin{matrix} 1 & 4 1 & 7 end{matrix}right|=3$ 、 $left|begin{matrix} 2 & 3 3 & 5 end{matrix}right|=1$ 、 $left|begin{matrix} 2 & 4 3 & 7 end{matrix}right|=2$ 、 $left|begin{matrix} 3 & 4 5 & 7 end{matrix}right|=1$ ，所以向量 $(1,2,3,4)$ 和 $(1,3,5,7)$ 形成的平行四邊形的面積是 $sqrt{1^2+2^2+3^2+1^2+2^2+1^2}=sqrt{20}$ 。

與 ${alpha_2,...,alpha_n}$ 「形成」的 $n-1$ 維形成的向量稱作這個體的「法向量（normal vector）」。法向量有無窮多個，彼此平行，且有兩種相反的方向。

而起點是原點的兩個法向量之一就是： $(B_1,B_2,...,B_n)=(C_{11},C_{21},...,C_{n1})$ ，代數餘子式構成了法向量的各項。