也談「為什麼(-1)×(-1)=1」
某天在「知乎」看到了這個問題，然而之後搜不到了= =。
提問者要求使用儘可能簡單的模型和盡量少的數學假設。
那我就在「2+2=4」、「加法交換律、結合律與數學歸納法」這兩篇文章基礎上談談我的理解：
回答「為什麼(-1)×(-1)=1」，首先需要釐清兩個問題：
- 什麼是乘法？
- 什麼是「-1」？
比較容易接受的處理的方式是——從皮亞諾自然數公理化定義出發不斷定義和擴充，雖然它很繁瑣（由於過長，以下只介紹基本路線而不給出詳細嚴謹的定義和證明）：
? 自然數中的乘法可以如下遞歸定義：
，
。
可以證明它滿足：
? 對加法的分配率 （固定
對
做歸納）；
? 結合率 （固定
對
做歸納）；
? （使用歸納法）；
? 交換律 （固定
對
做歸納，並利用?和?）。
? 由於之前的介紹中。「自然數」是從1開始的，因此需要補充定義一個新事物——0。
定義一個新的對象「 」，並對所有自然數
定義
、
，然後將原有的「
」運算和新的運算「
」合起來還稱作「
」，並可以證明它滿足：
? 交換律（這很自然）；
? 結合律——對任意自然數 證明
，
，
。
? 還可以證明「 」的唯一性即若
，則
。
並可以記 。
再定義新的運算「 」為
，然後和原有的「
」合併還稱為「
」，並可證明它仍然滿足?的????。
? 然後引入一類新事物（負數），對自然數 定義「
」，並定義運算「
」，
。
然後在新事物內部定義運算「 」：
。
再之後定義就是自然數和負數之間的加法「 」（論述就太麻煩了，而且後面用不到）。
最後把「 」 、「
」、「
」、「
」合在一起，構成「
」，然後可以證明它內部無矛盾，滿足交換律、結合率，還可以證明「相反數的唯一性」，即若
，則
。由此還可以得到
。
? 之後就是將原來自然數上的乘法擴充到 ，到現在大意已經明了：就是要擴充後還保持原有的?的????，那麼由於
，及「相反數的唯一性」，只能定義為
。
? 然後 。
? 最後就是將原來自然數上的乘法擴充到 ，仍然要保持原有的?的????，那麼
於是 ，由「相反數的唯一性」，只能定義為
。
好了剩下的 就不是問題了。
前面我是掙扎著寫下去的??（雖然很多地方也都跳過了），下面介紹一種不是很直觀的方式，而且涉及到「等價」的概念。
? 如前定義自然數之間的乘法。
? 引入自然數組成的有序二元組 ，其中
都是自然數。
定義這樣的二元組之間的等價性：若 ，則稱二元組
與
，將
所在的等價類記為
（就是表示通常所說的「
」），可以證明這是一個等價關係。
在二元組之間可以定義「 」運算：
。之後可以驗證若
與
等價、
與
等價，則
與
等價。
於是可以將這個運算擴展到等價類上： 。
利用自然數加法滿足的各種性質，可以證明這個運算滿足交換律、結合律。
定義二元組之間的「 」運算：
。可以類似地證明可以將這個運算擴展到等價類上——
。之後利用自然數乘法滿足的各種性質，也可以證明這個運算滿足交換律、結合律、對等價類的加法有分配律等性質。
? 所有 構成的集合和自然數集合同構：
對應於
；
對應於
；
（推算過程很繁瑣）對應與
。
? 用記號 表示
，則可以證明對於任意自然數
，
。
? 對於任意自然數 ，用符號「
」表示
，則可以得到
。
（事實上這就對應於通常說的「 的相反數
」）
? 於是
;
;
（就是「
」）；
（就是「
」，特別是
）。
而 就稱作整數集合。
事實上，整數就是所有自然數的二元組在這個「等價」關係下的等價類——雖然這個結果對於上述討論並不重要。換言之對於任一個自然數的二元組 ，若
則它與
等價，否則必定存在自然數
使得或者它與
等價或者它與
等價。
這一點的證明需要用到如下結果（自然數的三岐性）——對於任意兩個自然數 則下述三者有且僅有一者成立：
；
- 存在自然數
使得
（此時稱「
」）；
- 存在自然數
（此時稱「
」） 。
（然後，我也懶得給出這個結果的證明了。思路是固定 ，然後對
做歸納；過程中必要時對是否
、是否
做討論。）
於是對於二元組 而言，下述三者有且僅有一者成立：
- 存在自然數
等價於
；
- 存在自然數
。
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