特殊函數簡論

01-29

標題致敬王竹溪先生。

此文是為了結合最近量子力學課程中暴露的算功倒退而寫的小文，也可以看做是量子力學數理方法回顧的第一個方面。這個方面對於現在的量子力學教學沒什麼太大幫助（計算機可以搞定一切），可以看作一個迅速查詢的文章，配合二階線性常微分方程的不變式使用來解一些不那麼常見的方程使用（見【雜談】數理方法兩則）。

1.二階線性常微分方程

1.1 Fuchs型方程

Fuchs型方程指所有奇點都是正則奇點的線性常微分方程。它的最重要的特例之一就是具有三個正則奇點的方程，其原型為超幾何方程；常見的Legendre方程就屬於這一類，幾乎所有的常見特殊函數鬥魚Fuchs型方程有關係。

Fuchs函數的普遍形式為：

$w+p(z)w+q(z)w=0$ ;

設 $a_r(r=1,2,3,dots,n)$ 和 $infty$ 為Fuchs方程的正則奇點，則

$p(z)=sum^{n}_{r=1}dfrac{A_r}{z-a_r}$ ;

其中 $A_r$ 為 $p(z)$ 在 $z=a_r$ 的留數。

同理得到 $q(z)=sum^{n}_{r=1}{dfrac{B_r}{(z-a_r)^2}+dfrac{C_r}{z-a_r}}$ ;

同時必須有 $sum^{n}_{r=1}C_r=0$ ;

以上部分是Fuchs型方程的普遍性質。

1.2 具有三個正則奇點的Fuchs型方程

其中 $(alpha_1,alpha_2),(beta_1,beta_2),(gamma_1,gamma_2)$ 分別是在 $a,b,c$ 三點的指標對。

一般來說， $infty$ 會是一個奇點，所以我們把方程化為

$begin{aligned}dfrac{d^2 w}{dz^2}+&{dfrac{1-alpha_1-alpha_2}{z-a}+dfrac{1-beta_1-beta_2}{z-b}}dfrac{dw}{dz}&+{dfrac{alpha_1alpha_2(a-b)}{z-a}+dfrac{beta_1beta_2(b-a)}{z-b}+gamma_1gamma_2}timesdfrac{w}{(z-a)(z-b)}=0end{aligned}$

這類方程的解用Riemann $P$ 方程表示， $P$ 方程的核心是 $P$ 符號：

$w(z)=Pbegin{Bmatrix} a &b&c& alpha_1 & beta_1 & gamma_1; &z alpha_2 & beta_2 & gamma_2 end{Bmatrix}$

2.超幾何函數

2.1超幾何方程

$z(1-z)w+[gamma-(alpha+beta+1)z]w-alphabeta w(z)=0$

是一個具有三個正則奇點的Fuchs型方程，奇點為 $0,1,infty$

其解記為

$w(z)=Pbegin{Bmatrix} 0 &1&infty& 0 & 0 & alpha; &z 1-gamma & gamma-alpha-beta & beta end{Bmatrix}$ ;

以冪級數解法解之，在 $z=0$ 有指標為 $0$ 和 $1-gamma$ 的兩解；

指標為 $0$ 的解為超幾何函數：

$F(alpha,beta,gamma,z)=sum^{infty}_{n=0}dfrac{(alpha)_n(beta)_n}{n!(gamma)_n}z^n,|z|<1$ ,

其中

$(x)_{n}=x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1)=frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$

稱為階乘冪。

許多特殊函數可以用超幾何函數表示：

$(1+z)^n=F(-alpha,beta,beta,-z)$ ;

$arcsin z=zF(dfrac{1}{2},dfrac{1}{2},dfrac{3}{2},z^2)$ ;

$arctan z=zF(dfrac{1}{2},1,dfrac{3}{2},-z^2)$ ;

$ln (1+z)=zF(1,1,2,-z)$ ;

2.2 超幾何函數解的變換

利用超幾何函數解的變換，可以得到許多有用的結果。

2.2.1 換元

考慮分式線性變換進行換元

$z=lambdadfrac{z-mu}{z-nu}$ ;

$Pbegin{Bmatrix} a &b&c& alpha_1 & beta_1 & gamma_1; &z alpha_2 & beta_2 & gamma_2 end{Bmatrix}=Pbegin{Bmatrix} a_1 &b_1&c_1& alpha_1 & beta_1 & gamma_1; &z_1 alpha_2 & beta_2 & gamma_2 end{Bmatrix}$ ;

2.2.2 指標變換

為改變 $w(z)$ 為 $w_1(z)$ $(dfrac{z-a}{z-c})^k(dfrac{z-b}{z-c})^ktimes Pbegin{Bmatrix} a &b&c& alpha_1 & beta_1 & gamma_1; &z alpha_2 & beta_2 & gamma_2 end{Bmatrix}=Pbegin{Bmatrix} a &b&c& alpha_1+k & beta_1+l & gamma_1-k-l; &z alpha_2+k & beta_2+k & gamma_2-k-l end{Bmatrix}$

這種處理方法可以在氫原子Schrodinger方程的徑向部分（Laguerre函數）有關。

3. Legendre函數球函數

3.1 Legendre函數

Legendre方程是下列方程

$(1 - x^2 )frac{{d^2 P(x)}}{{dx^2 }} - 2xfrac{{dP(x)}}{{dx}} + n(n + 1)P(x) = 0$ ；

以Sturm–Liouville方程表示為

${d over dx} left[ (1-x^2) {d over dx} P(x) right] + n(n+1)P(x) = 0$ ；

其在 $z=0$ 附近的兩個解為

$y_1=a_0xF(-dfrac{n}{2},dfrac{n+1}{2},dfrac{1}{2},x^2)$ ;

$y_2=a_1xF(dfrac{1-n}{2},dfrac{n+2}{2},dfrac{3}{2},x^2)$ ;

當 $n$ 為偶數為， $y_1$ 的級數為截斷多項式。

規定最高次係數為 $a_n=dfrac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ ;

得到Legendre函數

$P_n(x)=dfrac{(2n)!}{2^n(n!)^2}x^nF(-dfrac{n}{2},dfrac{1-n}{2},dfrac{1}{2},x^{-2})$ ;

Legendre函數的生成函數（Rodrigues公式）

$P_n(x) = {1 over 2^n n!} {d^n over dx^n } (x^2 -1)^n$ ；

Legendre函數具有正交性：

$int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x),dx = {2 over {2n + 1}} delta_{mn}$

3.2 伴隨Legendre函數

伴隨Legendre方程是下列方程

$(1-x^2),frac{d^2,y}{dx^2} -2xfrac{dy}{dx} + left(ell[ell+1] - frac{m^2}{1-x^2}right),y = 0$ ；

其解為伴隨Legendre函數

$P_nu^mu(z)=frac1{Gamma(1-mu)}left(frac{z-1}{z+1}right)^{mu/2},_2F_1(-nu,nu+1,1-mu,frac{1-z}2)$

其解具有正交性

$int_{-1}^{1} P_l^m(x) P_k^m(x)mathrm dx = frac{(l+m)!}{(l-m)!}frac 2{2l+1}delta_{kl}$

同時，伴隨Legendre方程與超幾何方程具有關係：

$P_nu^mu(z)=frac1{Gamma(1-mu)}left(frac{z-1}{z+1}right)^{mu/2},_2F_1(-nu,nu+1,1-mu,frac{1-z}2)$ ；

3.3 球諧函數

$begin{cases} r^2R+2rR-lambda R = 0 Phi+m^2Phi = 0 sintheta dfrac{d}{dtheta} (sintheta Theta) +(lambdasin ^2theta-m^2)Theta = 0 end{cases}$

的角向歸一化解為

$Y_ell^m(theta, varphi) =(-1)^{m} sqrt{{(2ell+1)over 4pi}{(ell - |m|)!over (ell+|m|)!}} , P_ell^m (cos{theta}) , e^{imvarphi},!$

即球諧函數，其中：

$P_ell^m(x) = (1 - x^2)^{|m|/2} frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_ell(x)$

4. 合流超幾何函數

4.1 合流超幾何方程

對於超幾何方程：

$z(1-z)w+[gamma-(alpha+beta+1)z]w-alphabeta w(z)=0$

若做變換 $z to z/b$ ,並令 $z to infty$ ，即得：

$zdfrac{d^2w}{dz^2}+(gamma-z)dfrac{dw}{dz}-alpha w=0$

就成為合流超幾何方程，其中合流指正則奇點通過變換變成了一點，此例中 $b$ 與 $infty$ 通過變換變成了一點。

上述方程有兩解：

$w_1=F(alpha,gamma,z)$ ;

$w_2=z^{1-gamma}F(alpha-gamma+1,2-gamma,z)$ ;

其中 $F(alpha,gamma,z)=sum^{infty}_{n=0}dfrac{(alpha)_n}{n!(gamma)_n}z^n(gamma neq0,-1,-2,dots)$

稱為Kummer 函數。

4.2 Whittaker函數

以下方程稱為Whittaker函數

$frac{d^2w}{dz^2}+left(-frac{1}{4}+frac{k}{z}+frac{1/4-m^2}{z^2}right)w=0$

其解為

$M_{k,m}left(zright) = expleft(-z/2right)z^{m+tfrac{1}{2}}Fleft(dfrac{1}{2}+m-k,1+2m,zright)$

$W_{k,m}left(zright) = expleft(-z/2right)z^{dfrac{1}{2}-m}Fleft(dfrac{1}{2}-m-k,1-2m,zright)$

4.3 Weber函數

以下方程稱為Weber函數

$w+(n+dfrac{1}{2}-dfrac{z^2}{4})w(z)=0$

其解為

$D_n=2^{n/2+1/4}z^{-1/2}W_{n/2+1/4,-1/4}(dfrac{z^2}{2})(|argz|<3pi/4)$

做變換即得一維諧振子的方程。

4.4 Hermite函數

以下方程稱為Hermite函數

$w-2zw+2nw=0$

其解為

$H_n(z)=2^{n/2}e^{z^2/2}D_n(sqrt{2}z)$

其滿足正交關係：

$int^{infty}_{-infty}H_m(z)H_n(z)e^{-z^2}=sqrt{pi}2^nn!delta_{mn}(n,m=0,1,2,dots)$

還滿足以下遞推關係

$H_{n+1}(z)-2zH(z)+2nH_{n-1}(z)=0$

$H_n(z)=2nH_{n-1}(z)$

4.5 Laguerre函數

以下方程稱為Laguerre函數

$z,w + (1 - z),w + n,w = 0$

其解為 $L_n(z)$ ,其生成函數（Rodrigues公式）為

$L_n(x)=frac{e^x}{n!}frac{d^n}{dx^n}(e^{-x} x^n)$

定義伴隨Laguerre函數為

$L_n^{(alpha)}(x)= {x^{-alpha} e^x over n!}{d^n over dx^n} left(e^{-x} x^{n+alpha}right)$

伴隨Laguerre函數具有正交性：

$int_0^{infty}x^alpha e^{-x} L_n^{(alpha)}(x)L_m^{(alpha)}(x)dx=frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!}delta_{nm}$

在氫原子中常用

$int_0^{infty}x^{alpha+1} e^{-x} left[L_n^{(alpha)}right]^2 dx= frac{(n+alpha)!}{n!}(2n+alpha+1)$

5.Bessel函數

5.1Bessel方程

Bessel函數是下列方程的解：

$z^2 frac{d^2 w}{dz^2} + z frac{dw}{dz} + (z^2 - alpha^2)w = 0$

其解為

$w(z)=c_1 J_alpha(z) + c_2 Y_alpha(z)$

其與超幾何方程的關係是：

$J_alpha(z)=frac{(z/2)^alpha}{Gamma(alpha+1)} ;_0F_1 (alpha+1; -z^2/4)$

5.2 第一類Bessel函數

在 $z=0$ 鄰域內有界的第一解稱為 $Y_{alpha}(z)$

$J_alpha(z) = sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{m! Gamma(m+alpha+1)} {left({frac{z}{2}}right)}^{2m+alpha}$

$J_{-alpha}(z) = (-1)^{alpha} J_{alpha}(z)$

$J_alpha (z) = frac{1}{2 pi} int_{-pi}^{pi} e^{i(alpha tau - z sin tau)} dtau$

$e^{iz cos phi} = sum_{n=-infty}^infty i^n J_n(z) e^{inphi}$

$int_0^1 z J_alpha(z u_{alpha,m}) J_alpha(z u_{alpha,n}) dz = frac{delta_{mn}}{2} J_{alpha+1}(u_{alpha,m})^2$

5.3 第二類Bessel函數

在 $z=0$ 鄰域內無界的第一解稱為 $Y_{alpha}(z)$

$Y_alpha(z) = frac{J_alpha(z) cos(alphapi) - J_{-alpha}(z)}{sin(alphapi)}$

又稱Neumann函數。

5.3 Hankel函數

$H_alpha^{(1)}(z) = J_alpha(z) + i Y_alpha(z)$

$H_alpha^{(2)}(z) = J_alpha(z) - i Y_alpha(z)$

有時候我們會用到修正Bessel函數，實際上是做變換 $z to iz$

$I_alpha(z) = i^{-alpha} J_alpha(iz)$

$K_alpha(z) = frac{pi}{2} frac{I_{-alpha} (z) - I_alpha (z)}{sin (alpha pi)} = frac{pi}{2} i^{alpha+1} H_alpha^{(1)}(iz)$

5.4球Bessl函數

$z^2 frac{d^2 w}{dz^2} + 2z frac{dw}{dz} + [z^2 - n(n+1)]w = 0$

$j_n(z) = sqrt{frac{pi}{2z}} J_{n+1/2}(z)$

$y_n(z) = sqrt{frac{pi}{2z}} Y_{n+1/2}(z) = (-1)^{n+1} sqrt{frac{pi}{2z}} J_{-n-1/2}(z)$

5.5Airy函數

$w - zw = 0$

${Ai}(x) {}= frac1pi sqrt{frac13 x} , K_{1/3}left(frac23 x^{3/2}right)$

與球Bessel函數相關。

6.Chebyshev多項式

第一類Chebyshev方程

$(1-z^2),w - z,w + n^2,w = 0$ ;

第二類Chebyshev方程

$(1-z^2),w - 3z,w + n(n+2),w = 0$ ;

因而定義第一類Chebyshev多項式：

$T_n(z) = 1 - frac{n^2}{2!}z^2 + frac{(n-2)n^2(n+2)}{4!}z^4 - frac{(n-4)(n-2)n^2(n+2)(n+4)}{6!}z^6 + cdots$

第二類Chebyshev多項式：

$U_n(z) = x - frac{(n-1)(n+1)}{3!}z^3 + frac{(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)}{5!}z^5 - cdots.$ ;

兩類函數的關係是：

$frac{d}{dx} , T_n(z) = n U_{n-1}(z) mbox{ , } n=1,ldots$ ;

$T_n(z) = frac{1}{2} (U_n(z) - , U_{n-2}(z)).$ ;

$T_{n+1}(z) = zT_n(z) - (1 - z^2)U_{n-1}(z)$ ;

具有正交性：

$int_{-1}^1 T_n(z)T_m(z),frac{dz}{sqrt{1-z^2}}=left{ begin{matrix} 0 &: nne m~~~~~ pi &: n=m=0 pi/2 &: n=mne 0 end{matrix} right.$ ；

$int_{-1}^1 U_n(z)U_m(z)sqrt{1-z^2},dz = begin{cases} 0 &: nne m pi/2 &: n=m end{cases}$

另：感謝吳崇試老師每次認真回復我一大堆雜亂無章問題的郵件，有的時候，我甚至是在早上五點鐘收到郵件的。他老人家的計算能力讓我記憶深刻。

生活，是個圓。