2016年東京大學工學系研究科系統創成學專攻（systems innovation/システム創成學専攻）真題解析

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今天講堂君帶來的大學院真題是2016年（平成28年度）東京大學工學系研究科系統創成學專攻（systems innovation/システム創成學専攻）數學與邏輯的過去問中邏輯的部分。話不多說，跟著東大的前輩一起來做題吧！

第1問

テーブルの上に，異なる數字が書かれた10枚のカードが一列に並べられている。このカード列に以下の操作を行う。

(a) カード列の左端にあるカードを隣のカードと入れ替える。

(b) 同様に右端にあるカードを隣のカードと入れ替える。

(c) カード列の右端にある3枚のカードを，その順番を保ったまま左端に移動する。

例えば，この一連の操作を1回行うと下図のようになる。すべてのカードが元の並び順に初めて戻るまでに，この一連の操作を何回繰り返さなくてはいけないか。

解答：

1234567890

8092134567

5760892134

1437560892

8294137560

5062894137

1730562894

8497130562

5264897130

1032564897

8790132564

5467890132

1234567890

計12回。

第2問

下図において，外側の正12角形は半徑4の円に內接し，內側の正12角形は半徑1の円に內接する。2つの正12角形で挾まれた領域の面積を求めよ。

解答：

外側正12角形A的內接圓半徑為4，即可構成腰長為4，頂角為30°的等腰三角形，其面積s=(1/2)·a·b·sinC=(1/2)·4·4·sin30°=4，故SA=12s=48；

同理，內側12角形B的面積SB=12·(1/2)·1·1·sin30°=3；

故所求面積S=SA-SB=48-3=45。

Tips：三角形面積公式的多種表達式。

第3問

5人の海賊と1匹の猿が難破して島に漂著した。その日，彼らは食糧として木の実を集めた。その夜に，海賊の1人が起きだし，猿に木の実を1個與え，殘りの実を5つの山に等分し，1つの山を自分だけのために隠し，殘り4つの山をまとめ直して，何食わぬ顔でまた眠った。さらに夜遅く，殘りの海賊も次々と同じ事を行った。すなわち，4人それぞれが猿に実を1個與え，殘りの実の5分の1を隠した。翌朝，彼らは猿に木の実を1個與え，殘りを5人で等分した。海賊たちは少なくとも何個の木の実を集めていたか求めよ。なお，等分した際は常に余りが出ることはなかった。

解答：

設至少有果實x個，第二天五人等分到的果實為y個，則：

將上試整理可得：

注意到後六項為等比數列，利用等比數列求和公式可進一步簡化得：

整理得：

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