等效原理和史瓦西度規

01-29

本文主要內容是利用等效原理通過坐標變換得到史瓦西度規的一種方法。

假設在坐標原點有一個質量為 $M$ 的質點，這是引力場源。它周圍的引力場有球對稱的特點，按照牛頓萬有引力可知，距離原點為 $r$ 的位置，引力勢為

$varphi=-frac{GM}{r}$

如圖所示，指向上的帶黑箭頭的直線表示從坐標原點指向外的一條矢徑（坐標原點未畫出），在這條矢徑上有A和B兩個靠得很近的點，這兩個點分別和它周圍的臨域組成一個小的局域靜止參考系（圖中綠色的方框，可以視為一個靜止的小電梯）。K是一個與小參考系A重合的小參考系（為了看起來方便，上圖把K系畫在了A系的旁邊，即紅色的小方塊，並且假設K系的 $x$ 軸方向沿著矢徑的方向），現在讓K系自由下落，從B點落到A點。

根據等效原理，K系是一個慣性系，我們來研究K系與A和B系之間的坐標變換（我們略去與矢徑垂直的兩個坐標軸的變換，因為它們垂直於K系的速度方向，所以他們的變換是類似洛侖茲變換中 $y=y$ 這樣的變換）。當K系開始自由下落時，它與B系之間的相對速度為零，則得到K繫到A系的變換的微分形式為（見注釋1的說明）

$dt_{B}=dt_{K}$ ， $dr_{B}=dx_{K}$ （1）

當K系落到A系位置時，它相對於A向下的速度為 $sqrt{2gh_{BA}}=sqrt{2(varphi_{B}-varphi_{A})}=sqrt{2Deltavarphi_{BA}}$ 。

設在A系中有一個靜止的鐘經歷了時間 $dt_{A}$ ，同樣有一個沿著 $r$ 軸放置的靜止的尺長度為 $dr_{A}$ ，則在K系中看來，這個鐘和尺均以速度 $sqrt{2Deltavarphi_{BA}}$ 沿著 $r$ 軸正方向運動。根據狹義相對論，在K系中看來，這個鐘經歷的時間 $dt_{K}$ 和尺的長度 $dx_{K}$ 分別為（即鐘慢效應和尺縮效應）（見注釋1的說明）

$dt_{K}=frac{dt_{A}}{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}$ ， $dx_{K}=dr_{A}sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}$ （2）

由（1）和（2）可以得到，在引力場中靜止的B和A兩點，他們的鐘經歷的時間和沿著 $r$ 方向的尺的長度關係為

$dt_{B}=frac{dt_{A}}{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}$ ， $dr_{B}=sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}dr_{A}$

或者寫為

$dt_{A}={{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}dt_{B}$ ， $dr_{A}=frac{dr_{B}}{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}$ （3）

現在，我們將矢徑 $r$ 從A點到無窮遠分割為很小的線段，如下圖所示（湊合看吧），B點上邊依次是C、D...。則B點和C點的時間和沿著矢徑的長度之間的關係可以類比（3）式得到，以此類推。

然後將這些關係代入（3）得到

$dt_{A}={{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}dt_{B}={{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{CB}}{c^2}}}}dt_{C}=...$

$=[{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}times{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{CB}}{c^2}}}}...times 1 ]dt_{infty}$ （4）

$dr_{A}=frac{dr_{B}}{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}=frac{1}{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}frac{dr_{C}}{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{CB}}{c^2}}}}=...$

$=[frac{1}{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}timesfrac{1}{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{CB}}{c^2}}}}...times1]dr_{infty}$ （5）

現在來化簡上面這兩個式子，只需要把

${{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}}}}times{{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{CB}}{c^2}}}}...times 1 ={{sqrt{(1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2})times(1-frac{2Deltavarphi_{CB}}{c^2})...times1}}}$

化簡就可以了。矢徑上每兩個點的間隔很小，因而每兩個點之間的 $Deltavarphi$ 也是很小的，所以根號下的式子中， $Deltavarphi$ 的高次項可以略去，只保留到 $Deltavarphi$ 的一次項，則上式變為

${{sqrt{1-frac{2Deltavarphi_{BA}}{c^2}-frac{2Deltavarphi_{CB}}{c^2}-...}}}=sqrt{1-frac{2}{c^{2}}(Deltavarphi_{BA}+Deltavarphi_{CB}+...)}$ （6）

注意到

$Deltavarphi_{BA}+Deltavarphi_{CB}+...=varphi_{B}-varphi_{A}+varphi_{C}-varphi_{B}+varphi_{D}-varphi_{C}+...=-varphi_{A}$

所以（6）式變為

$sqrt{1+frac{2varphi_A}{c^2}}$

則（4）和（5）變為

$dt_{A}={{sqrt{1+frac{2varphi_{A}}{c^2}}}}dt_{infty}$ ， $dr_{A}=frac{dr_{infty}}{{sqrt{1+frac{2varphi_{A}}{c^2}}}}$ （7）

在（7）式中，下標 $infty$ 表示無窮遠處的物理量。由於無窮遠處是沒有引力的，所以可以替換為沒有引力場時，A處的物理量。如果我們用 $dbar{t}$ ， $dbar{r}$ 表示球對稱的靜引力場中的量，用 $dt$ ， $dr$ 表示沒有引力時同一位置的量，則（7）式變為

$dbar{t}={{sqrt{1+frac{2varphi}{c^2}}}}dt$ ， $dbar{r}=frac{dr}{{sqrt{1+frac{2varphi}{c^2}}}}$ （8）

這就是存在球對稱的引力場時，引力場中的時間微元、沿著矢徑的長度微元和無引力場時的關係。注意到 $varphi=-frac{GM}{r}$ （這裡有一個小問題不是很明白，就是為什麼分母中的 $r$ 還用沒有引力場時的半徑，可能是因為這樣能夠使引力場在任何一個球面的通量都是常數），則（8）變為

$dbar{t}={{sqrt{1-frac{2GM}{c^2r}}}}dt$ ， $dbar{r}=frac{dr}{{sqrt{1-frac{2GM}{c^2r}}}}$ （9）

從（9）式可知，在引力場中的鐘會變慢。

由於垂直於矢徑的局部平面中兩個正交的坐標軸和引力場不存在時沒有變化，在引力場不存在時，垂直於矢徑的線元為 $dl^2=r^2(dtheta^2+sin^2theta dphi^2)$ ，所以

$ds^2=c^2dbar{t}^2-dbar{r}^2-r^2dtheta^2-r^2sin^2theta dphi^2$ （10）（見注釋2）

將（9）代入（10）得到

$ds^2=({1-frac{2GM}{c^2r}})c^2dt^2-frac{dr^2}{{1-frac{2GM}{c^2r}}}-r^2(dtheta^2+sin^2theta dphi^2)$ （11）

這正是史瓦西度規。

注釋1：在推導（1）和（2）時，自由下落的局域參考系K（慣性系）到引力場中的局域參考系A和B之間直接用了洛侖茲變換，這裡增加一點說明。

根據等效原理，引力場中局域的靜止參考系和加速參考系是等效的。所以，我們把A、B兩個局域的非慣性系（注意，A和B由於距離很近，它們的整體也可以近似視為一個局域參考系）轉化為一個包圍A和B的以初速度為0，加速度g上升的小火箭中（如下圖所示），這樣A、B就變成了加速系（它們與引力系中的A、B局域參考系等效），可以證明，局域的加速系（在時間和空間上都是局域的，即空間尺度足夠小，時間間隔足夠短）可以等效為速度相同的、沒有加速度的慣性系。因為火箭中的A、B都是局域的加速系，所以可以等效為慣性系，也正是因此，引力系中局域靜止參考系A和B也可以看作是慣性系，他們和K分別重合時的變換為洛侖茲變換。

注釋2：根據注釋1，由於局域參考系A系和B系可以看作慣性系，自然可以得到不變間隔為

$ds^{2}=c^2dt_A^2-dr_{A}^{2}-dy_A^2-dz_A^2$

其中， $dy_A$ 和 $dz_A$ 為局域參考系A中與矢徑r垂直的兩個直角坐標軸，他們的微元和沒有引力時是一樣的，如果用 $r$ 表示沒有引力時，原點到A點的半徑，改為球坐標，則上式變為（由於是球對稱的靜場， $theta$ 和 $phi$ 的值與有沒有引力場沒有關係）

$ds^{2}=c^2dt_A^2-dr_{A}^{2}-r^{2}(dtheta^{2}+sin^{2}theta dphi^{2})$

這就是（10）式。