想下山的小和尚

在《演算法之道》中看到這樣一個問題（文字描述按本強迫症重度晚期的習慣略作調整）：

在深山中的寶珠寺里有一個年輕的小和尚叫做「哀青」（哀嘆青春，這名字起的就不吉利），他想要下山去。

他的師父告訴他「山下的女人是老虎」，小和尚於是問道那為什麼不直接叫做「女老虎」啊？師父說：這個叫做比喻。

小和尚：我想/問問問問/問我該怎麼脫身/你卻說/花花世界/不必當真/多麼傷人。

老和尚只好給他一個金缽，裝有27顆佛珠，其中15顆為紅色，12顆為綠色（而旁邊還有一大筐紅色佛珠和一大筐綠色佛珠）。每天寺廟的晨鐘響起時，小和尚可進行如下2個操作中的任意1個：

1. 如果缽中裡面至少有3顆紅色的佛珠，則和尚可以從缽中取出3顆紅色的佛珠，並放入2顆綠色的佛珠（即用2顆綠色佛珠替換3顆紅色佛珠）。——記之為 操作。
2. 將缽中的所有佛珠置換為另一種顏色的佛珠（即將原來的紅色佛珠替換為綠色佛珠。將原來的綠色佛珠替換為紅色佛珠）。——記之為 操作。

例如在第1次鐘聲響起時，小和尚可將缽里的3顆紅色佛珠拿走，並加入2顆綠色佛珠，這樣，缽里將有12顆紅色佛珠和14顆綠色佛珠；在第2次鐘聲響起時，小和尚可將缽中每顆佛珠都置換為相反的顏色，這樣，缽里將有14顆紅色佛珠和12顆綠色佛珠……

當缽中只剩下5顆紅色佛珠和5顆綠色佛珠時，小和尚就可以離開寶珠寺下山去享受精彩而又無奈的外面的世界了。

請問：小和尚應該如何操作才能離開寶珠寺？

用 表示缽中的紅色佛珠數和綠色佛珠數。則開始時表示為 ，目標是 。

於是兩種操作就是兩個函數 和 。

好了，下面開始解決問題，而首先要分析問題，看能得到些什麼：

1. 執行操作的次數

如果用 表示缽中的紅色佛珠數和綠色佛珠數之和。

則 操作不改變這個值，即 。

而 操作將這個值減少1，即 。

初始情況 ，目標情況 。

因此必定是進行了17次 操作！

2.

用 表示缽中的紅色佛珠數和綠色佛珠數之差（的絕對值）。

則 操作不改變這個值，即 。

而對於 操作來說， 。

由於目標狀態下 ，因此在操作過程中 都應該保持是5的倍數 。

而最初情況時 ，所以無論如何也不可能僅使用這兩種操作達到目標。

3. 下面從操作序列入手進行分析。

首先，很明顯兩次 操作相當於沒有進行任何操作，因此操作次序必定是「若干次連續的 操作」和「1次 操作」交替進行。

其次，可以驗證

於是可以將所有包含17個 操作的操作序列簡化為下述5種之一：

然後最多進行1+1+1+16+16=35次驗證後就知道，小和尚無論怎樣做都是徒勞無功的。

簡化過程例如：

許多年後，滄海桑田白雲蒼狗，小和尚也變成了老和尚，當新的小和尚問起他山下什麼樣的時侯，新的老和尚（舊的小和尚）只是默默遞給他一個的裝有15顆紅色佛珠和12顆綠色佛珠金缽，然後轉過身去，嘴角喃喃道：有一個聲音/它說/哀青/沒離開過……