穿「薯塔」

在路邊看到了一種食物，經問詢後知道叫做「薯塔」（雖然很是不理解為什麼薯片加香菜，但是還是沒有勇氣嘗試一下）。於是想到了以前看到過的——

如果桌面上平攤散落著 個大大小小的正圓形薯片，如果每3個薯片都可以使用一個牙籤垂直同時刺穿，那麼一定可以只使用一根牙籤垂直刺穿所有薯片。（下左圖只是部分示例）

不繞圈子了，更一般的結果是：

假設 都是二維平面 上的凸集（其中 ），如果其中任意3個凸集都存在公共點，那麼這 個凸集必定存在公共點。這就是 中的海萊定理（Hellys theorem）。

證明. （這裡只是簡單寫一下，因為我看百度百科的已經挺詳細了）

對 進行歸納。

的情況是平凡的。

對於 的情況，

• 記 的公共點為 ，
• 記 的公共點為 ，
• 記 的公共點為 ，
• 記 的公共點為 。

如果 中有兩個點相同，則它就是 的公共點。

否則在平面上， 四個點不外乎如下三種情形：

(1) 形成一個凸四邊形（不妨假定是下左圖情況）

由於 們都是凸集，因此上右圖中藍色的邊屬於 ，綠色的邊屬於 ，於是紅色的點屬於 。

(2) 形成一個凹四邊形（不妨假定是下左圖情況）

上右圖中藍色的邊——特別是點 ——屬於 ，所以綠色的邊——特別是點 ——屬於 ，而本來 就是 的公共點。所以 事實上就是 的公共點。

(3) 退化情形，即形成一個線段（不妨假定是下圖情況）

可以分析得到 是 的一個公共點。

一般性的海萊定理：

假設 都是 中的凸集（ ），如果其中任意 個凸集都存在公共點，那麼這 個凸集必定存在公共點。

（可詳見維基百科）