MIT線性代數課程精細筆記[第九課]

0、前言

MIT線性代數課程精細筆記[第二課]筆記見MIT線性代數課程精細筆記[第八課]，該筆記是連載筆記，本文由坤博所寫，希望對大家有幫助。

一、知識概要

之前消元處理矩陣時，經常發現矩陣中有時會有一行或幾行本身就是前面幾 行的線性組合情況，這一節我們就從這種線性相關或線性無關的特徵入手，介紹 空間中的幾個重要的概念：基，維數。

二、線性無關與線性相關

2.1 背景知識

首先強調，接下來我們談論的概念都是基於向量組的，而不是基於矩陣。線 性無關，線性相關是向量組內的關係，基也是一個向量組，不要與矩陣概念混淆。

首先從之前學習的 Ax = 0 方程談起。

假設 m*n 的矩陣 A：

顯然，n > m，以這樣的矩陣 A 構成的方程 Ax = 0，此時未知數?? ?? 的個數比 方程的個數多。未知數一共 n 個，方程一共 m 個。

所以此時 A 的零空間中除零向量以外還有其他向量，原因是這樣的 A 一定有 自由變數(至少有 n-m 個自由變數)，這就造成了零空間中向量的無窮解。

2.2 線性無關與線性相關

舉幾個例子感受一下上面的概念：

2.3 零空間的作用

根據上面的例題 4，我們再從矩陣的零空間與矩陣列向量角度重新定義 向量組的線性相關/無關。假設現有一 m*n 矩陣 A：

·如果 A 各列向量構成的向量組是線性無關的，那麼矩陣 A 的零空間中只有零 向量。

·如果 A 各列向量構成的向量組是線性相關的，那麼矩陣 A 零空間中除零向 量之外還一定有其他向量。

很好理解上面零空間角度的定義。因為零空間反映的就是 A 各列向量的線性 組合。

從秩的角度看來：

·線性無關對應向量組構成的矩陣，秩為 n，此時沒有自由變數，零空間中 只有零向量存在。

·線性相關對應向量組構成的矩陣，秩小於 n，有 n-r 個自由變數，零空間 中有很多向量。

2.4 生成空間

三、基

四.維數

上面介紹基的時候提到了「?? ?? 空間的基中向量個數為 n 個。」這個「n」我 們稱之為維數。同一個空間內，即使基不同，基向量的個數也必須相等。

理解維數也很簡單，像我們的三維空間，其基一定是三個三維向量（三個 向量，每個向量有三個分量），四維空間的基也一定是四個四維向量。

五.總結

這一節學習了很多概念問題，我們通過一道例題回顧一下

（2）找出A列空間的一個基

從 A 的結構看來：

這下我們就將矩陣的秩與列空間的維數聯繫了起來，而更重要的是，我們知 道了列空間的維數，那麼在這個列空間中隨便找兩個線性無關的向量，它們就可 以構成一組基，這組基就可以生成這個列空間。

（3)A對應零空間的維數為多少？

五.學習感悟

這一節內容十分簡單，就是幾個概念的介紹：線性相關/無關，基，維數。這 一節這幾個概念都是用來描述空間的，了解這幾個概念之後，我們便將矩陣的秩， 矩陣的自由變數等概念與空間的維數，基，線性相關/無關的判定聯繫起來。便 於我們接下來對向量空間的研究。

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