預篇：伯爵Fagnano與Euler的加法定理(I)

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...Von viel gr??erem Interesse sind aber Arbeiten EULERS, welche im Msc. eine ganz andere Gestalt haben, als welche er ihnen sp?ter gegeben hat, so da? man sieht, da? er keineswegs so wie man glauben m?chte die Publication seiner Arbeiten übereilt hat, sondern sie bisweilen lange liegen lie? und mehrfach umarbeitete. ...Bei dieser Gelegenheit habe ich auch einen für die Geschichte der Mathematik ungemein wichtigen Tag gefunden, an welchem unsere Akademie Euler auffordert das von Fagnani ihr übersandte Werk zu prüfen, ehe man dem Verfasser antwortet. Aus dieser Prüfung ist die Theorie der elliptischen Functionen entstanden.
……然而更富有趣味的是Euler在Msc.[當指Miscellanea Berolinensia，柏林科學院刊行的雜誌]上發表的工作，這些工作和他後來[在同一主題上]發表的工作形式上是截然不同的，因此可以看到，他的工作並不是如人們所想，是一蹴而就的，而是有時會擱置很長一段時間，而且會在[一個問題上]工作好幾次。……藉此機會我也找出了數學史上非常重要的一天——這一天我們科學院[指柏林科學院]邀請Euler來審閱Fagnano的工作，以便給作者作出回復。橢圓函數論就誕生於這次審閱之中。

[上述文字引用自C. G. J. Jacobi 1847年10月24日致Paul Heinrich Fuss的信。P. H. Fuss是Nicholas Fuss之子。Nicholas Fuss曾經師從Euler, 並且娶Euler的孫女為妻。Jacobi與Fuss都對Euler的數學工作進行過詳盡的整理。題圖所示正是Jacobi發給Fuss的Euler學術活動清單的一部分，這份清單中明確寫道：Euler受邀審閱Fagnano的工作始於1751年12月23日。]

Giulio Carlo, Conte Fagnano e Marchese de Toschi e di SantOnofrio(1682-1766), 1682年9月26日生於義大利亞得里亞海畔的Sinigaglia。Fagnano本人出身於當地的名門望族，愛好數學，哲學與詩歌。1743年他參與了聖彼得大教堂的修繕工作，作為獎勵，教皇本篤十四世准許刊行他的數學論文集。不過他的全集直到1750年才完成印刷。1745年教皇封他為侯爵。他的一個兒子Giovanni Fagnano也是數學家，但是他的成就比不上他的父親。根據記載，Fagnano家已經絕嗣。

「古者富貴而名摩滅，不可勝記」，Fagnano的工作也不得不接受這樣的命運。1933年G. N. Watson在他的文章「The Marquis and the Land-agent,...」中明確寫道：

...his investigations on the geometrical theory of proportion, which occupy a large part of the first volume of his Produzioni matematiche, are, of course, irrelevant, and I do not hesitate to say that I naturally consider them rather dull reading.

他的數學文集(總計1000多頁)到今天也就只有隻有一項工作能夠流傳於世，而這項工作就印在文集的扉頁上。(下圖摘自Google Book Fagnano文集的第二卷)

他對自己的這項工作的重視也可以從他傳世的畫像中看到。

Fagnano研究的主要是曲線求長問題。如他論文集中說的，他的研究主要受到Bernoulli兄弟的啟發[義大利語原文來自Fagnano文集第二卷, p. 343, 譯文由Patrick Popescu-Pampu的書「What is the genus?」中的英譯文給出]：

Due sommi geometri sig. Giacomo, e sig. Giovani fratelli Bernulli anno renduta celebre la lemniscata, servendosi de suoi archi per costruire lisochrona paracentrica, come può vedersi negli atti di Lipsia dell anno 1694. Egli è visibile, che misurando la lemniscata mediante qualche altra curva di lei più semplice, si ottiene una costruzione più perfetta non solo dell isochrona paracentrica, ma ancora delle altre infinite curve, che per essere costruite possono dipendere dalla lemniscata ; e però mi lusingo, che non sieno per dispiacere aglintendenti le misure di questa curva da me scoperte, le quali esporrò successivamente in due schediasmi.
兩位偉大的數學家，Jacob Bernoulli與Johann Bernoulli因為藉助雙紐線的弧長構造出等時曲線而使雙紐線聞名於世，這可以從1694年萊比錫的[雜誌]Acta [Eruditorum]中看到。可以看到，如果用某些更簡單的曲線來度量雙紐線[的弧長]，我們不僅可以得到等時曲線[註：這個不是Huygens等人研究的等時曲線]更漂亮的構造，而且可以依賴雙紐線構造出無窮多條其他的曲線。這條曲線[弧長的]度量由我發現，並且發表在[這]兩篇短文中，這項工作會使理解這個主題的人感到愉悅，我會為此感到自豪。

Bernoulli等人研究的問題是與兩個物理問題有直接關聯的。[下圖來自1691年的Acta Eruditorum的插頁, p. 282]

問題1：有一根均勻彈性輕質桿AB，桿自身重量忽略不計。固定桿的一端A，使之處在豎直狀態。在桿的另一端B懸掛一個重物，試確定彈性輕質桿AB的形狀。[其實也應當假設桿的形狀是平面曲線]

1691年Jacob Bernoulli在公布此問題時放了一條謎語進去：

Qrzumu bapt dxqopddbbp poyl fy bbqnfqbfp lty ge mutds udtbh tubs tmixy yxdksdbxp gqsrkfgudl bg ipqandtt tcpgkbp aqdbkzs.

這是解決問題的關鍵。三年後他才公布答案：

Portio axis applicatam inter et tangentem est ad ipsam tangentem sicut quadratum applicatae ad constans quoddam spatium.

按這裡的說法，解密後的內容即便翻譯成英文也很難懂。只有深入他1694年的著作以後，我們才會明白，這一句指的是：[在理想情況下(桿的形變遵循胡克定律)，]外力對彈性桿上任意一點的力矩與桿在該點的曲率成正比[Jacob Bernoulli自己稱之為theorema aureum(黃金定理)]。Daniel Bernoulli與Euler後來進一步把彈性桿與梁的理論發揚光大[例如用變分法]，這裡我們略去不提。

據此，我們立刻可以寫出桿形狀的微分方程：

$frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{f^{prime}}{sqrt{1+(f^{prime})^2}}=2cx$

常數c與桿的彈性係數[如楊氏模量]以及外力有關。它有一個特解滿足

$frac{f^{prime}}{sqrt{1+(f^{prime})^2}}=cx^2$

此時桿的頂端是水平的。我們於是得到

$f^{prime}=frac{cx^2}{sqrt{1-(cx^2)^2}}Longrightarrow f(u)=int_{0}^{u}frac{cx^2}{sqrt{1-(cx^2)^2}}mathrm{d}x$

這就是Jacob Bernoulli給出的彈性曲線的解。

1694年Jacob Bernoulli在發表了彈性曲線的工作之後，又解決了Leibniz 1689年提出的另一個問題：

問題2：一質點在重力作用下在豎直平面內沿著某條曲線C運動。設曲線上一點為O。記曲線上AB兩點間的直線距離為 $overline{AB}$ ,從A到B運動的時間為 $t(AB)$ . 如質點趨近/離開O點時，t(AO)(或t(OA))總與OA兩點間直線距離成正比，試求曲線C的方程。

很顯然解決問題的關鍵在於建立合適的微分方程。考慮在極坐標 $x=rhocostheta,y=rhosintheta$ 下研究此問題，並取O點為原點。根據能量守恆，我們立刻有 $frac{1}{2}mv^2=E_0+mgy$ ,約束條件為 : $frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}$ 是常數。在極坐標下我們有 $v^2=left(rhofrac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}t}right)^2+left(frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}right)^2$ 。如果在O點處 $frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}t}$ 有限，我們就可以得到 $frac{1}{2}mleft(frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}right)^2=E_0$ 。此時我們的方程就可以化為 $frac{1}{sqrt{rho}}mathrm{drho}=Kfrac{1}{sqrt{sintheta}}mathrm{d}theta$ 。我們再令 $sintheta=z, u=sqrt{z}$ ,也就有

$frac{1}{sqrt{rho}}mathrm{drho}=Kfrac{1}{sqrt{z-z^3}}mathrm{d}z$ 以及

$frac{1}{sqrt{rho}}mathrm{drho}=K^{prime}frac{1}{sqrt{1-u^4}}mathrm{d}u$ (K與K均為常數)。

這條曲線和彈性曲線有什麼關係呢？十七-十八世紀的數學家涉及到單變數積分的時候，通常傾向於把積分描述為曲線圍繞的面積或曲線的弧長。從彈性曲線的表達式我們可以推導出它的弧長微分 $mathrm{d}s=sqrt{(mathrm{d}f)^2+(mathrm{d}x)^2}=frac{1}{sqrt{1-(cx^2)^2}}mathrm{d}x$ , 與我們上面得到的微分方程的右側相比只有一些常數因子上的差別，因此Leibniz的曲線就可以用彈性曲線的弧長來描述。

Jacob Bernoulli是不滿足於這樣的結果的。彈性曲線並不是代數曲線。上面的弧長微分有沒有可能是某條代數曲線的弧長微分呢？我們來看一下Jacob的弟弟Johann Bernoulli在同年給出的答案：

注意到我們上面在推導Leibniz曲線的過程中微分方程右邊出現了 $frac{1}{sqrt{z-z^3}}mathrm{d}z$ 這樣一項。如果它是代數曲線的弧長微分，那麼 $frac{1}{z-z^3}(mathrm{d}z)^2=(mathrm{d}u)^2+(mathrm{d}v)^2$ 。Johann Bernoulli把左邊裂成兩項： $frac{1}{z-z^3}(mathrm{d}z)^2=frac{1}{2}frac{1+4z+4z^2}{z+z^2}(mathrm{d}z)^2+frac{1}{2}frac{1-4z+4z^2}{z-z^2}(mathrm{d}z)^2$

Johann Bernoulli注意到，兩項分別是 $mathrm{d}sqrt{2z+2z^2}$ 和 $mathrm{d}sqrt{2z-2z^2}$ 的平方。因此我們就找到了待定曲線的參數方程： $u=sqrt{2z+2z^2},v=sqrt{2z-2z^2}.$ 參數方程確定的曲線的形狀是這樣的：

這正是雙紐線的1/4。

可嘆的是在Leibniz曲線上的工作成了Bernoulli兄弟二人反目的導火索。Johann在發表自己的研究後，Jacob卻對Johann的研究大加指責，認為Johann的研究毫無意義。Johann Bernoulli在1695年1月12日寫給Guillaume de lH?pital的信中這樣寫道[原文來自Der Briefwechsel von Johann I Bernoulli，1955，p. 253-257，譯文來自Jeanne Peiffer的英譯http://www.jehps.net/Novembre2006/Peifferanglais3.pdf]：

...cest un misantrope general qui nepargne pas méme son frere, comme vous voyez par tout ce quil ma fait, il créve de rage, de haine, denvie et de jalousie contre moy, ...enfin ce seroit avec le plus grand plaisir de me voir dans létat le plus miserable et reduit à lextremité...cependant nayez pas peur, que je fasse part à mon frere de ce que nous nous ecrivons, car il y a plus de 6 mois que je ne luy ay parlé mot.
……他厭世到連自己的兄弟都不寬恕，你也看到了，他心中充滿了對我的憤恨嫉妒之情,……簡單說，能看到我陷入悲慘的境地中一路落到底那是最能令他滿足的事情..……不過你不用怕，我會把我們之間通信的內容告訴他，因為我已經六個月沒和他說過一句話了。

這兩人的關係直到1705年Jacob Bernoulli去世都沒能緩和過來。正是所謂的「一尺布，尚可縫，一斗粟，尚可舂。……」

問題：有人看出來Jacob Bernoulli是怎麼加密自己的信息的嗎？