第四課：特徵值與特徵向量

特徵值和特徵向量的概念

由特徵向量的性質我們知道，它滿足加法封閉性和數乘封閉性。於是構成了n維空間的子空間。

求特徵值就有可能遇到重根的情況，我們下面具體討論一下。

這裡的代數重數實際上就是指的特徵值有幾重根。而幾何重數是指該特徵值所對應的特徵向量

所構成的空間的維數。幾何重數永遠小於等於代數重數。如果代數重數是1,那麼幾何重數跟代

數重數一定是相等的。如果代數重數大於1,那麼代數重數可能等於幾何重數,也有可能大於幾何

重數，這個嘗試著求屬於特徵值的特徵向量才能知道。

在上一節課，我們已經複習過了矩陣可對角化的條件。下面我們在矩陣可對角化的基礎之上引入Jordan標準形的概念。

其中， 等分別構成了Jordan塊。

後來，我發現這個寫的不夠通俗，我再改一下，借鑒一下徐誠浩編著．高等數學（二）：線性代數與概率統計對於Jordan標準形的定義。

對任意n階矩陣A，必存在n階可逆矩陣P，使

其中每一個對角塊都是Jordan塊，

是 階方陣，J中所有 都是矩陣A的特徵值。若不計Jordan塊 的排序，J是由A唯一確定的，也就是說，A是Jordan塊標準形。（這個斜著的一列1也可以寫到主對角線下面，但不能既寫上面又寫下面）

每個n階的複數矩陣A都與一個Jordan形矩陣相似，這個Jordan形矩陣除去其中Jordan塊的排列次序是被矩陣A唯一確定的，它成為矩陣A的Jordan標準型。

該定理是矩陣論的基本定理之一，我們一定要牢牢地記住。

通這個定理我們想要說明的一點是，形成Jordan標準形的矩陣A不不一定要求必須是可對角化的矩陣，只要求A矩陣可逆就行了。A矩陣可逆的充要條件是A不具有零特徵值，A的特徵值之和等於A的跡。

特徵值與特徵向量的幾何性質

關於線性空間的變換和線性變換，我們曾在第二節進行過詳細的描述，這裡就不再贅述了。我們直接討論特徵值和特徵向量以及與矩陣之間的關係。

由 則求變換的特徵值就轉換為矩陣的特徵值。

定理：若 是線性變換T的 重特徵值，則

這條定理所要表達的意思就是特徵值幾何重數小於等於代數重數，當Jordan塊為1階的時候取到等號。

定理：設n階方陣A的譜是 ... ,則A可對角化的充要條件是 =

這條定理所說的意思就是A可對角化的充要條件是每個特徵值的幾何重數等於代數重數。

廣義特徵值

顯然我們由定義就可以看出來，當B=E的時候，上式就化為A的一般特徵值問題，因此廣義特徵值問題是一般特徵值問題的推廣。

通過這種方法，廣義特徵值也可以化為一般特徵值，但要求B必須可逆。

另外，在許多實際應用過程中，A和B常常都是Hermite矩陣，雖然 是Hermite矩陣，但是 一般不是Hermite矩陣，對於這個問題，我們一般這樣操作：

這個證明書上有，我就偷個懶，不寫啦。

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