2+2=4

（今天原計劃是不寫的，但是下午開幼兒園家長會時候，聽到講到「抽象能力」和「數學運算」，就很有感觸決定——）

為什麼「兩蘋果+兩橘子=四個蘋果」不正確？

一般的解釋都是「因為類別不相同所以不能相加」。然而，真的是因為這樣么？

例如，「小明兩歲了，再過兩年，就四歲了」，所以「2歲+2年=4歲」？「年」和「歲」是相同的么？那為什麼我們可以說「三年加五年等於八年」而不能說"三歲加五歲等於八歲"？

再例如，「第2名往後數2名同學就是第4名」，以「第2名+2人=第4名」？於是「第2名+第2名=第4名」？

最糾結的例子恐怕就是這個了——「1杯1攝氏度的水+1杯1攝氏度的水」為什麼是「2杯1攝氏度的水」而不是「1杯1攝氏度的水」、「1杯2攝氏度的水」或者「2杯2攝氏度的水」？

「序數」和「基數」

首先簡單說一下「序數」和「基數」的概念。（整個這篇文章我都選擇了非常粗略的解釋——因為不想因嚴謹而導致不得不「非常啰嗦」）

簡單地說，自然數有兩種意義，

• 一是表示數量，即被數的物體有「多少個」，表示數量的自然數稱作基數。例如，2個同學的「2」就是基數。
• 另一種意義是表示次序， 即最後被數到的物體是排列中的「第幾個」，這種自然數，稱作序數。例如，第2名的「2」就是序數。

所以教導小朋友時候的「如果你有2塊兒糖，我又給你2塊兒糖，那你一共有多少塊兒啊？」問題事實上是基數的和，就是加法原理。「兩蘋果+兩橘子=四個蘋果」的不正確可以用「不同類」解釋——它們的全集不同所以不適用加法原理；而這也可以解釋為什麼「兩蘋果+兩橘子=四個水果」或者「「兩蘋果+兩橘子=四個物體」就變得正確了。

下面的問題就是——「同類」的序數為什麼可以進行加法。

（溫度那個是另一個問題，不是基數的簡單累加而涉及到「熱交換」，但是「1攝氏度再提高1攝氏度」是可以表述的。物理量的「加法」都比較複雜，如「狹義相對論」中的「速度疊加」。）

為什麼「2+2=4」？

要解釋2+2=4，就得解釋什麼是「2」什麼是「4」什麼是「+」。

什麼是「2」？

回答：2就是1+1。

——（看起來） 多麼蒼白的解釋，所以還是先來解釋什麼是「+」。

不過，我選擇不饒圈子了，還是先從頭兒說起——

什麼是自然數？

所謂「自然數」，人類已經使用了幾千年；然而它的嚴謹形式化定義卻是19世紀才建立起來的——（只給出本文需要的部分）

皮亞諾自然數公理化定義（Peano axioms）：自然數集 是指滿足以下條件的集合：

1. 中有一個元素，記作1。
2. 中每一個元素 都存在 中一個元素作為它的後繼 。
3. 1不是 的任何元素的後繼。
4. 不同元素有不同的後繼。

這時我們可以解釋「什麼是2？」——2隻是一個記號，表示1的後繼 。（可能讀者會說：剛才你還說2就是「1+1」的啊，怎麼突然就改了？這就需要繼續看下一節「1+1」中的「+」是什麼）

那麼什麼是3呢？3隻是2的後繼的記號而已，即使用「3」來「簡寫」 ，即 。

於是「4「就是 的簡寫、「5「就是 的簡寫……

什麼是加法「+」？

加法「+」是 的一個函數。（這裡需要思維上能接受"+(2, 3)=5"這種表述方式）

它可以如下遞歸定義：

• ，
• 。

於是這就可以解釋

而後，

這時也可以表述「序數」 為 ；而「基數」則需要下節中我們介紹的「基於集合論定義自然數」。

這就非常好地解釋了「第2名往後數2名同學就是第4名」是因為4是2的後繼的後繼。

基於集合論定義自然數

在策梅羅-弗倫克爾公理化集合論（Zermelo–Fraenkel set theory）中，定義

• ，
• 。

例如 ， ，

（「自然數」從0開始還是從1開始其實是等價的，只是為了表述方便；當真正理解時，就會「釋然」地說，從-1000開始又如何？一些細節調整而已。）

於是可以按照集合的基數來表示自然數的基數。

可以證明這種定義符合皮亞諾自然數公理化定義。