15、產生於不確定的確定性

「Ludwig Boltzmann, who spent much of his life studying statistical mechanics, died in 1906 by his own hand. Paul Ehrenfest, carrying on the work, died similarly in 1933. Now it is our turn to study statistical mechanics.」

「窮其一生鑽研統計力學的玻爾茲曼，於1906年親手結束了自己的生命。艾倫費斯特（玻爾茲曼學生）繼承了他的工作，於1933年同樣死於自殺。現在，統計力學這塊陣地輪到我們上了」

-- David Goodstein

前面一系列的討論，我們看到，在經典物理學裡面，我們遵從的是決定論的物理定律，一切系統，在給定了初始狀態以後，似乎都必須按照一條規定好的路徑按部就班地演化。但是，我們還看到，不論是現實中（FAPP）、物理原則中、還是邏輯原則中，總是存在著不確定的種子。而這個種子經過混沌這個無處不在的誤差放大器，就快速茁壯成長，最終我們完全不可能對我們的未來做出預言。哪怕是原則上都不可能。

既然混沌無處不在，那麼按照這套邏輯，我們根本就不可能做出任何有效預言，那麼，我們在前面第1章中所談到的，經典物理學的成功和那些偉大的預言，又是如何實現的呢？難道我們看到的是一個假的物理學？

我們來討論這樣一個問題：一個系統，假如說它的每一個粒子的運動都是概率性的，甚至是完全隨機的（非決定論），那麼，在宏觀上，這個系統的運動是否必然是非決定論的？也就是說，我們是不是對這個系統的宏觀運動失去了預言能力？

這問題看起來似乎完全多餘：這不是廢話嗎？一個系統的每一個組成部分都是不確定的，在最底層遵從的是非決定論的規則，難道總體上它可能是可預測的嗎？但是事實上答案並不是那麼一目了然。

我們舉個例子，比如說給我們一杯水，由於我們前面所述的混沌的原因，我們不可能在分子動力學意義上完成對它的預測（也就是說，準確預測每個水分子的運動狀態），每一個水分子在我們看來，都是雜亂而隨機的。但是，作為這一杯水的整體，我們卻可以非常容易地預測它的流動（流體力學）。再舉一個例子，在歷史中，每一個人的個體行為都是隨機的，完全不可預測的，但是當地球上所有的人集合成為一個整體，進而形成的宏大歷史，卻是有著非常明晰的趨勢和規律的。在後面章節中我們講到層展和熵的時候，你會發現，有時候，個體的完全隨機行為（100%不確定性），在整體尺度上卻反過來抹殺一切未來的不確定性（100%確定），導致整體系統的無可避免的命運。

這裡的關鍵問題就是，因為當我們向著宏觀的方向擴展一個尺度時，我們所關心的系統狀態就不一樣了。比如說，一個原子，我們關心它電子和原子核的能級排布等；一個分子，我們關心電子能級之間的相互作用和化學鍵；一杯水，我們在宏觀層面關心的，是它的密度，溫度，壓力，流動情況等等；一個天體，我們把它當做剛體，只關心它的質心運動和自轉。對一杯水而言，我們絕不會過分在意這杯水中的每一個分子的運動狀態。這杯水的整體運動狀態叫做「宏觀態」，而組成這杯歲的每一個分子的運動狀態叫做「微觀態」。

微觀態和宏觀態是兩種我們對系統截然不同的描述方法。對微觀態而言，它需要用每一個分子的三個方向上的速度和三個維度的位置來描述。一般我們接觸的系統大約由10^23個分子組成，那麼，對每一個微觀態，我們需要6×10^23個變數才能完成對它的一個描述，這無疑是一個極大的天文數字。而對於一個宏觀態，我們只需要溫度、壓力、密度等區區幾個變數來描述。等於說，在宏觀態中，我們忽略了絕大部分的系統運動細節，因而是一種極為粗略的描述方式，然而恰恰是這種粗略的描述，才是我們力所能及的。反之，如果我們只在微觀層面上關注每一個水分子的運動，我們根本沒有辦法預測一杯水的整體流動。從強還原論角度出發，人們會認為，既然每個水分子的運動規律我們都知道了，把它們整體加合起來，不就是一杯水的運動規律了嗎？事實上（FAPP），這是不可能的 – 我們已經看到，這個巨量自由度體系中，考慮大量水分子運動，不僅僅是增加了計算量這麼簡單。

所以，我們不去關心微觀態，而是採取統計的處理手法，把這麼多的粒子的運動統一起來看待。這樣一來，大量的微觀隨機性和漲落，在宏觀尺度上就會相互抵消、抹平，因而微觀的隨機性在宏觀就體現不出來了。

這裡，恰恰是因為微觀上的隨機性，才能使得它們在宏觀上能夠得以彼此抵消抹平。因為極大量的粒子的隨機運動，體現為在各個方向上偏差都是基本上相等的，所以才能相互抵消。而如果微觀上不具備隨機性，它的偏差必然是各向異性的，宏觀上就不會被抵消乾淨。

這就是為何我們在處理宏觀系統的時候，根本不必去考慮每一個粒子的運動。只有像統計力學這種做微觀和宏觀之間的橋樑的學科，才會在宏觀系統中考慮微觀定律。

因此，我們在對水分子內部相互作用以及運動情況幾乎完全無知的情況下，在宏觀層面上對水的流動卻可以達到很精確的預測，這是因為我們忽略了絕大多數的自由度（每一個單個分子的運動狀態），而把我們所關心的，在整體的尺度上統合到了一個自由度很低（水的整體流動）的空間。在還原論表現得無可奈何的時候，整體論出來救場了。

這回我們再看一個例子：一箱氣體。在初始狀態t=0時刻，這箱氣體內部分布是不均一的，它分布不均一的方式有無數多種，比如說，我們用隔板把它限制在箱子的一角。這時，我們把隔板打開，氣體開始在整個箱體內部逸散。那麼，這箱氣體狀態的演化是朝著怎樣的方向？它最終會達到什麼狀態？

這個問題不需要動腦子，根據日常經驗，我們就知道結論：最終，氣體會擴散至整個箱子內部，並且達到處處密度相等。

我們從宏觀層面來看。此時，我們關心的是這箱氣體的宏觀狀態，最常用的例如溫度、壓力、密度、內能等等。在宏觀層面上，我們既有流體力學的方程，也有熱力學的方程來進行描述。這箱氣體存在著內部的擴散和流動。通過流體力學方程可以計算氣體的速度場、溫度場、壓力場、以及密度場隨著時間的變化過程。不論初始條件多麼不確定，最終它一定達到一個確定的平衡點[1]。

在這箱氣體的初始時刻，把氣體限制在內部較小空間所用的隔板的位置、大小、形狀我們都是可以任意選擇的，所以，隨著我們選取的限制手段不同，氣體的初始狀態也是千變萬化。（比如說，把氣體限制在一個小空間，還是大一點的空間，它的狀態是不同的）。我們可以選擇的氣體初始狀態的密度分布可以有無窮多種方式。但是，它的最終狀態卻只有一種，就是密度均一。也就是說，有無窮多種初始狀態，最終演化變成了同一種狀態。

因而，在相空間中，我們就有無窮多個初始狀態構成的連續空間（粗粒），這個粗粒的演化就會不斷縮小，直至最終一點。

是什麼原因導致了這種現象呢？就是因為我們忽略了大量的分子自由度，而只考慮少數的幾個宏觀自由度造成的。這樣一來，我們系統相空間的維度就從10^23這樣一個巨大的數量級降低到區區幾個。當我們考慮每個分子的微觀運動時，我們是在詳細追蹤所有的系統信息的。而當我們不考慮每個分子運動，而只考慮系統的整體運動時，我們其實是在不斷地忽視每個分子的運動信息的，因而我們所掌握的系統信息就會越來越少。我們前面講過，考慮了所有分子運動時，相空間的體積是守恆的，相體積守恆意味著信息的守恆。而我們忽略這些分子運動而只考慮整體運動時，信息是不斷丟失的，因而相體積必然不斷縮小[2]。

也就是說，這箱氣體的宏觀狀態是註定的：不論它的初始狀態是什麼樣子，最終它總是達到處處均一的狀態。這比起我們前面一直所說的動力學系統有著更強的決定論演化，那些系統是每一個初始狀態對應一個確定終點，我們需要知道系統確切的初始狀態才能做出有效預測；而這箱氣體，是無窮多種初始狀態達到同一個確定終點，我們無需知道它的初始狀態就可以斷定的的終點！[3]

我們知道，氣體所表現出來的一切宏觀狀態，溫度、壓力、密度等等，都是微觀上分子運動的統計結果。如果我們想判斷系統的宏觀狀態，最根本的做法是考慮系統的微觀狀態，然後對微觀狀態進行宏觀統計。對於氣體的微觀狀態，我們需要考慮每個分子的運動，正向前面討論的，它的相體積會不斷精細擴散直至不可辨，使得在現實中，我們總會看到相體積的增大。如下圖所示

那麼，我們看到，在微觀層面上，這個系統體現出來的是與宏觀行為完全相反的特徵：它是一個相體積擴大的過程，而宏觀上它表現出來的是一個相體積不斷縮小的過程。在微觀上，這個系統的未來是完全不確定的，但是在宏觀上，它卻是超級確定的。這個似乎是很矛盾。

但是更加有意思的一點是，正是由於微觀狀態的不確定，才導致了宏觀狀態的超級確定。

怎麼理解呢？我們說，從微觀狀態來看，這個系統的演化是迅速失去確定性的。任何一個初始狀態的粗粒，最終都會擴散到整個可能的相空間：也就是說，不論系統出自何種初態，演化過程中它的每一個分子出現在何種位置，都是等概率的，而與初始狀態無關。這就是統計力學的一個基本假設，先驗等概率假說：在相空間中，任何演化到了最終，每一種微觀狀態（氣體分子的位置和動量分布）都是等概率的，與初始狀態無關。

現在我們將箱子等分成兩部分：左邊和右邊。我們有若干個氣體分子，我們把這些分子隨機地放入到這個箱子的兩邊，那麼，考慮如下一種情況：箱子的左側有m個分子，而右側有n個分子，那麼m與n之間會出現什麼關係呢？

為了做到完全隨機，當我們向箱子中放一個原子的時候，我們通過拋硬幣來決定左邊還是右邊。硬幣正面，分子就放置在左邊，反之則右邊。那麼，在完成大量分子的分配以後，它在左邊還是右邊的概率就完全等同於硬幣哪一面朝上的概率。我們知道，當我們反覆地拋硬幣，次數不斷增加的時候，硬幣出現正面朝上的次數就基本上等於反面朝上的次數。當我們拋出的次數趨向於無窮時，正面次數就等於反面次數。相對應的，就是大量分子隨機分布在一個箱子里時，左側的分子數基本等於右側分子數，即密度處處均一。

當然，左側和右側分子數並必然嚴格相等，我們可以計算其概率。事實上，對我們一般的宏觀系統，一箱熱力學尺度的氣體，一共有大約10^23個數的分子，那麼在這種情況下，我們可以計算出，有99.99999999%的概率會出現兩側分子數相差小於0.0000000001%的情況。既然分子在箱子的左側還是右側是完全隨機的，那麼，總有湊巧的時候，箱子左側的分子運動稍微多那麼一點，導致左右兩側分子數不那麼相等，這種可能性有多少呢？上面的計算告訴我們，如果左側比右側多的分子百分比超過0.0000000002%，這種情況下出現的概率是：小於0.000000001%！也就是說，如果我們對分子數的觀察精度高達0.0000000001%（憑著現代的認知，這是個神都做不到的精度），我們有99.999999999%的把握可以確定分子在箱子里是完全均勻分布的。如果我們的觀察精度只有1%呢？我們的把握就提高到99.99……9%，小數點後面有，抱歉，數不過來的9。

從前面這個簡單的討論可以看到，一個熱力學系統之所以最終總是趨向於處處均一，並不是因為動力學定律決定了它必然達到這種狀態。而是說，不均一的分布狀態從概率上是極不可能發生的。這其實是統計數學中大數定律和中心極限定理的具體體現。

當我們反過來看，實際上，我們所說的，「分子完全隨機地分布在兩側」這個假設是有一定問題的，因為從微觀角度看，分子並非隨機運動，而是我們無法分辨這種運動與隨機運動的區別，這是相體積的分形擴散所決定的[4]。也就是說，在一切可能的現實中（FAPP），分子可以看做隨機運動。

也就是說，我們對分子的運動確定性的把握在不斷喪失，直至最後我們只能完全用隨機過程來描述它。這個過程，也就是我們對分子運動信息不斷丟失的過程，當我們認為分子已經是完全隨機運動的時候，我們對分子信息的掌握已經丟失殆盡了。而此時，也就是氣體達到處處均一的平衡狀態的時刻了。

這就是我為什麼說，正是由於微觀運動完全喪失了確定性，導致了宏觀狀態獲得了超級確定性。

隨機過程，也意味著某種程度的決定論 – 因為隨機規律也是一種運動規則。尤其是當數量極高的時候，隨機漲落被抵消掉，反而會出現決定性的結果。因而，在宏觀世界，我們仍然可以不必考慮微觀的不確定性，來進行宏觀的計算和預測。

而歷史上那些著名的預言，在一定程度上，是相對比較「簡單」的。首先它的自由度很少，因而，發生蝴蝶效應的機會就大大降低；其次，這些系統中恰好是沒有存在混沌現象的。而在經典物理學的時代，實際上人們已經接觸到了混沌系統，只不過當時人們並沒有意識到。這個系統就是三體系統。你早已經看過科幻小說《三體》了，應該對三體系統的混沌運行有一個概念了吧。三體系統就是一個非常典型的區區幾個自由度就構成的混沌系統。當然這樣的例子還有，例如人們在研究生物種群的發展時提出的Logistic映射、由兩個擺連在一起構成的復擺等等。與前面討論的相比，小自由度系統中的混沌現象仍然是時有發生，但是很多時候我們已經可以進行不錯的預測了。

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專欄：魔鬼眼中的自然界

[1] 流體力學的方程和我們前面所說的，對粒子系的方程，雖然根本上都是從牛頓三定律得來的，但是它們有一個很大的不同，就是流體力學方程是所謂的「耗散方程」，也就是說，流體力學方程所描述的系統相空間是隨時間縮小的

[2] 事實上，信息不斷丟失的過程，在微觀態是一個相體積擴大的過程，而不是縮小。但是從宏觀來看，屬於相體積不可辨的過程，就是縮小了。

[3]如果我們不關心路徑，只關心最終狀態，那麼熱力學更加方便，在熱力學層面上，這個過程要遵守熱力學第一定律和熱力學第二定律。熱力學第一定律就是能量守恆定律，這個定律告訴我們，氣體在逸散過程中平均溫度保持不變（假定理想氣體）。熱力學第二定律告訴我們的是，孤立系統總是沿熵增方向演化。也就是說，它不管中間變化過程是什麼樣的，最終的結果必然是達到熱力學平衡。也就是說，最終密度均一。

熱力學第二定律是自然界中最最基本的定律之一。事實上，在包括愛因斯坦和霍金等著名科學家看來，前面這句話中的「之一」二字純粹多餘。與物理學中的其它定律相比，熱力學第二定律非常不同：其它定律描述的都是物質運動的必然性（物質的運動必然遵從某種規則），而第二定律描述的卻是不可能性（物質的運動在某些方面是不可能的）。

[4]如前所述，我們看到的相體積擴大，並非它「真正」擴大了，而是因為它與周圍混合得不分彼此了。