撲克中的數學-34：牌例4.8（一個7牌梭哈案例）

《The Mathematics of Poker》中文翻譯

牌例4.8

$40-80的7牌梭哈遊戲（沒有公共牌，每人7張有明牌有暗牌，7選5比大小，其他與德州撲克類似）。除了河牌，大家的手牌都是暴露的。我們稱這種情況為暗聽牌；也就是說，只有一位牌手知道聽牌是否聽到了。

正如你所看到的那樣，這個遊戲與之前的牌例是非常相近的。牌手A有一手成牌，而B有一手純粹的同花聽牌，沒有同花牌以外的出牌。底池是$655。河牌已經發出。

在這個牌例中，A不會繼續下注了。B永遠不會跟注他的下注除非B完成了同花聽牌。因此，A會過牌，等待B的行動來再做決定。如果B過牌的話，當然，A一般都可以拿下底池。事實上，A拿下底池的可能性是相當高的，遠超50%。但是，他仍然不會在河牌下注，因為他這樣做會損失EV。不論他是否下注，他在這個底池死錢中的EV是不會發生變化的。在這個牌例中，同樣的，不管河牌發了什麼牌，A不能從B手中拿到價值，因為B不會用任何比對A差的牌跟注。

因此A會選擇過牌。現在B必須決定如何行動。顯然，他必須在聽到同花牌時下注。牌庫中還剩40張牌，有8張B想要的同花牌。因此B有1/5（20%）的機率可以聽到同花。為了使他的同花可以拿到價值，B在有些聽牌破產的時候也會嘗試詐唬。如果他這麼做了，並且A棄牌了，那麼他會用一手垃圾牌贏下底池裡8個多盲注的死錢。

如果B下注了，A必須決定應該跟注還是棄牌。這個決定事實上與A在河牌有沒有抓到一張黑桃有關，因為他如果真的有黑桃的話，B在河牌詐唬的可能性會大幅提高。但我們在這個牌例分析中會忽略這一點；假設A不看他自己的河牌（為了使得分析更方便）。

這給了我們兩個未知量：

A跟注的頻率：也就是如果B下注的話，A跟注的概率是多少。稱這個概率為x。

B詐唬的頻率：也就是當B下注時，他多少百分比的牌是詐唬牌。稱這個百分比為y。

因此我們可以用計算EV的公式得到兩個人的EV：

因此A跟注的EV決定於B詐唬的頻率；而B詐唬的EV決定於A跟注的頻率。

對於A來說，我們可以通過求解一個不等式來得到他跟注可以收穫正EV的條件：

這意味著當B詐唬的比率高於2.2%時，A應該總是選擇跟注，因為他這樣做會得到正EV。同樣的，我們也可以看到，當B詐唬的比率恰巧為2.2%時，A跟注的EV恰好是0。這是一個我們會在書中一遍又一遍提到的重要概念。在這個頻率下，A跟注與棄牌是無差異的——他如何行動對他的EV是沒有任何影響的。

而對於B來說，我們也可以求解一個不等式來求出他收穫正EV的條件：

這意味著當A跟注的頻率小於89.1%時，B應該總是選擇詐唬，因為他這樣做會得到正EV。我們再次發現當A跟注的頻率恰好為89.1%時，B選擇詐唬的EV是0。也就是說，B選擇詐唬還是放棄他的破產聽牌是無差異的。

也許會發生這種情況，A是一個很多疑的牌手，認為B是一個喜歡詐唬的牌手，而總是會選擇跟注B。如果他這麼做了，那麼B詐唬的比率每提高1%，A的EV就會提高大約$7.35。而B對A這種多疑的牌手的最好的回應就是從不選擇詐唬。或者說A是一個很信任對手的玩家，認為只要B下注了，那B肯定是聽到同花了。因此他經常對對手的下注棄牌。那麼B就會簡單地選擇更多的詐唬，從A的棄牌中拿下底池裡的死錢。當然，B在真正形成同花的時候會拿不到價值，但他詐唬時贏得的底池裡的8個多盲注的死錢會彌補他的價值下注。