撲克中的數學-12：正態分布（上）

《The Mathematics of Poker》中文翻譯

正態分布是曲線峰值在總體平均值處的鈴型曲線，並且當x取值趨向於負無窮或正無窮時曲線漸進趨向於0。曲線與x軸圍成的圖形的面積（與所有概率分布一樣）為1，而取值在[x1,x2]之間的概率就是曲線與x軸、x=x1,x=x2,圍城的圖形的面積，如下圖中的A區域。

用不是那麼正式的語句表述的話，中心極限定理告訴了我們，當你有一些總體並且有足夠大的樣本數量時（具體多大取決於數據的類型），樣本的輸出都會遵從這樣均值與方差和真實均值、方差接近的鈴型曲線。

給出均值

與標準差

的正態分布的方程為：

求出正態分布曲線中兩點之間的面積可以幫助我們求出給定均值與方差的樣本取值在兩點之間的概率。正態分布是關於均值對稱的，因此一半的區域在均值左側，一半的區域在右側。一個常用的計算曲線兩點之間區域面積的方法叫z值法，

。z值代表了x值遠離了多少個標準差的均值。

我們可以為z值找到一個叫累積正態分布函數的東西，來表達曲線下z值左側區域的面積（均值為0、標準差為1的正態分布曲線）。我們稱這個方差為

。如下圖。

如果z是一個標準化z值，那麼z的累積分布函數就是：

求出x1與x2之間面積的方法就是先相應求出z1和z2，並求出累積正態分布值

和

並將其相減。

如果

是z值的累積正態分布函數，那麼一個均值為

標準差為

的正態分布函數的樣本的取值落在x1與x2之間的概率是：