優化演算法之梯度下降演算法

在應用機器學習演算法時，我們通常採用梯度下降法來對採用的演算法進行訓練。其實，常用的梯度下降法還具體包含有三種不同的形式，它們也各自有著不同的優缺點。

1.批量梯度下降法BGD

現在下面以LR演算法為例對這三種演算法從原理到代碼進行講解

由LR演算法可知LR演算法的損失函數為

損失函數J(θ)最小值時的θ則為要求的最佳參數。通過梯度下降法求最小值。θ的初始值可以全部為1.0，更新過程為：

其中（j表樣本第j個特徵（屬性），共n個特徵，alfa表示步長每次移動量大小可自由指定）

下面是偏導的求導過程：

結果：

代碼

我們每一次的參數更新都用到了所有的訓練數據（比如有m個，就用到了m個），如果訓練數據非常多的話，是非常耗時的。

下面給出批梯度下降的收斂圖：

從圖中，我們可以得到BGD迭代的次數相對較少。

隨機梯度下降法SGD

由於批梯度下降每跟新一個參數的時候，要用到所有的樣本數，所以訓練速度會隨著樣本數量的增加而變得非常緩慢。隨機梯度下降正是為了解決這個辦法而提出的。它是利用每個樣本的損失函數對θ求偏導得到對應的梯度，來更新θ：

更新過程如下：

隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到所有訓練樣本（往往如今真實問題訓練數據都是非常巨大），一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。

但是，SGD伴隨的一個問題是噪音較BGD要多，使得SGD並不是每次迭代都向著整體最優化方向。

隨機梯度下降收斂圖如下：

我們可以從圖中看出SGD迭代的次數較多，在解空間的搜索過程看起來很盲目。但是大體上是往著最優值方向移動。

min-batch 小批量梯度下降法MBGD

我們從上面兩種梯度下降法可以看出，其各自均有優缺點，那麼能不能在兩種方法的性能之間取得一個折衷呢？既演算法的訓練過程比較快，而且也要保證最終參數訓練的準確率，而這正是小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent，簡稱MBGD）的初衷。

我們假設每次更新參數的時候用到的樣本數為10個（不同的任務完全不同，這裡舉一個例子而已）

更新偽代碼如下：

拖了許久的梯度下降演算法更新完了，克服懶惰。。。

reference

純乾貨 | 機器學習中梯度下降法的分類及對比分析（附源碼）

批量梯度下降（BGD）、隨機梯度下降（SGD）、小批量隨機梯度下降（MSGD）實現過程詳解 - 雲計算技術頻道 - 紅黑聯盟

詳解梯度下降法的三種形式BGD,SGD以及MBGD