抽樣分布篇之十一：抽樣分布的終極分布是什麼，你知道嗎？

這篇文章源於某個微信群里的一個問題，是關於F-檢驗的，在回答問題的時候突然冒出一個想法：這麼大的樣本量用正態近似應該怎麼算呢？我們在學習的時候老師都說過，抽樣分布在樣本量趨於無窮大的時候逼近正態分布。

為此我查閱了幾本《概率論與數理統計》的教科書，多數都沒有提及，所以我估計很多人並不知道。另外這個知識點也不是重點，即使有人學過，可能也沒有特別留意。當然關注抽樣分布的正態近似意義也不是很大，因此這篇小文就當做資料吧，有人想知道的時候可以來查查。

推導過程咱就沒必要談了，直接上結論。當樣本量很大時，三大抽樣分布趨於正態分布，但不一定是標準正態分布，這個是要注意的。

當自由度n非常大時，t分布漸趨N(0, n/(n-2))，而n/(n-2)趨於1，因此可以用N(0,1)也就是標準正態分布來近似。

當自由度n非常大時，卡方分布漸趨N(n, 2n)。

在分子和分母的自由度分別為m、n且非常大時，F分布漸趨以下的正態分布

假設m=n且非常大時，上式可簡化為N(1,4/n)。

寫到這兒，文章可以結束了。

不對！還有個問題，自由度達到多少才可以很好地用正態來近似呢？

有人注意到了這個問題，防災技術學院的王福昌等就對此進行了研究，其論文《χ2分布、t分布和F分布的近似計算》發表在《防災科技學院學報》2008年3月第10卷第1期上，本文直接引用其結論。

選擇自由度5、10、20、50，對比t分布和正態分布的概率密度曲線如下圖：

可以看到，自由度為50時，兩個分布基本重合，如果再對比一下自由度為30的曲線，其重合程度也是可以接受的，這就是我們常說樣本量在30以上是大樣本的原因之一吧。

以SQRT(n/(n-2))作為標準差，分別取1、2、3倍標準差的點，計算其右側累積概率。對比如下表(論文中的表有錯誤，還是我自己來做吧。這樣明顯的錯誤編輯怎麼沒發現呢？唉……)。

註：正態近似的計算沒有採用論文中的多項式近似公式計算，因此計算結果略有偏差。

以n為均值SQRT(2n)作為標準差，分別取1、2、3倍標準差的點，計算其右側累積概率。選擇自由度為20、50、100、200，對比曲線圖下圖：

量化的對比見下表：

採用同樣的方法，取m=n，F分布正態近似的對比曲線如下圖：

量化的對比見下表：

由上面的對比分析可見，隨著樣本量的增加，t分布很快收斂於正態分布，而另外兩個分布收斂的速度則比較慢。這是由於t分布是對稱分布，且本身就是用於修正小樣本狀態下正態分布估計的差異的，因此t分布與正態分布關係比較密切就可以理解了。

另外兩種分布屬於偏態分布，具體來說是右偏分布，而且樣本量越小，其分布越偏，因此當樣本量增大時，這種偏態分布向對稱的正態分布的收斂就顯得比較慢了。

當然現在的軟體計算概率分布已經非常方便了，即使是EXCEL都可以很容易計算，因此沒有什麼必要再考慮採用正態近似了。