列聯表篇之八：屬性不同雙向有序表的線性趨勢檢

前兩篇我們討論了秩相關係數，Spearmannrho和Kendall tau不能像Pearson相關那樣判斷兩個變數是否存在線性關係。Wikipedia上的這張圖可能很多人都看到過，對於一個單調的函數來說，Spearman和Kendall的相關係數可以到1，可以說兩個變數的關係絕對密切，但也只能說它們的變化一致，不能說它們的關係線性的。

在確認兩個有序變數存在相關關係後，如果還想進一步了解這種關係是不是直線關係，這就可以運用線性趨勢檢驗來確認。

線性趨勢檢驗方法是將總的卡方值進行分解，即

看到這個公式，你大概會聯想到一元線性回歸分析上，其實原理差不多，類似於通過卡方檢驗(回歸分析用t-檢驗)來確認回歸係數的顯著性，如果回歸係數顯著(卡方「偏」不顯著)，則說明兩個變數存在線性相關關係。

例：(借用孫振球《醫學統計學》中的案例)某研究者欲研究年齡與冠狀動脈粥樣硬化等級之間的關係，將278例資料整理成下表，問年齡與冠狀動脈粥樣硬化等級之間是否存在線性變化趨勢？

在秩相關係數中，變數的等級沒有納入分析範疇，而線性趨勢檢驗則需要用到這些信息，因此事先給這些等級賦值。

第一步：提出假設

H0：年齡與冠狀動脈粥樣硬化等級之間無線性關係

Ha：年齡與冠狀動脈粥樣硬化等級之間有線性關係

第二步：計算總卡方值

計算方法在《雙向無序列聯表分析》中有詳細介紹，這裡直接給出結果：

總自由度=(4-1)(4-1)=9。

第三步：計算回歸卡方值

自由度為1，式中b為回歸係數， 為b的方差。Lxx、Lyy分別為兩個變數的離均差平方和，Lxy為兩個變數的離均差積和。有

Lxx、Lyy的計算結果如下：

Lxy的計算結果如下：

由此計算得：

自由度=9-1=8。

第四步：得出檢驗結論

取α=0.05，自由度為1、8的卡方檢驗臨界值分別為3.84、15.51，結論是回歸係數卡方檢驗顯著，偏卡方係數不顯著，因此拒絕原假設，即年齡與冠狀動脈粥樣硬化等級之間有線性關係。

「回歸」、「偏」的卡方檢驗結果有4種組合

計算《屬性不同雙向有序表的Spearman相關分析》例1的卡方值，可得

「回歸」的自由度為1，「偏」的自由度為(4-1)(5-1)-1=11。取α=0.05，卡方檢驗臨界值分別為3.84、19.675，「回歸」不顯著，「偏」顯著，說明兩個變數可能有曲線關係。

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