?德州撲克的數學-5：有效籌碼深度&計算底牌組合

有效籌碼深度

有效籌碼深度被定義為：

l 你的籌碼量，如果有人籌碼比你多。

l 否則，除你以外剩餘玩家的最大籌碼量　　　　

有些牌手有時可能會感覺到一種心理劣勢：如果他們買入籌碼坐上現金桌，而某個對手有一大堆籌碼。但那種場合不存在任何數學劣勢，因為他們的損失不會超過有效籌碼量。

有效籌碼深度往往影響了最佳決定。深籌碼打法可能與小籌碼打法很大不同。如果你有一手大籌碼，但牌局中其他牌手都是小籌碼，那麼有效籌碼深度較低，你需要使用小籌碼打法。

例1：你和四名牌手一起打無限德州撲克現金局。盲注0.25/0.5美元。

問題：有效籌碼量是多少？

解答：有效籌碼量是100美元，或者200BB。

例2：繼續和例1相同的牌局，假設你加註到1.5美元，然後只有小盲玩家跟注。

問題：有效籌碼量是多少？

解答：有效籌碼量是6.5美元。翻前的深籌碼狀況在翻牌圈已經變成了小籌碼狀況。如果你擊中了頂對弱踢腳牌，你樂意在這局全壓。為了拿下或守護這個4美元的底池，你只需要冒6.5美元的風險，而你的對手不會經常拿到更好的牌。

如果有效籌碼量更高，相比這個底池，你和你的對手將冒更多風險，而且如果你最終用頂對弱踢腳牌全壓，你可能會經常為更好的牌買單。

例3：你正在打無限德州撲克錦標賽。盲註：100-200。

行動：所有人棄牌，輪到按鈕位置的你行動。

問題：有效籌碼量是多少個大盲注？

解答：雖然你的籌碼量是20BB，但任何超過1200的下注會歸入一個自動判你贏的邊池。因此有效籌碼量是6BB，你應該著眼於在翻前全壓或棄牌，因為這是6BB籌碼量的標準策略。　　

　　用有效籌碼量而不是表面籌碼量來描述牌局通常是最合適的。但在撲克錦標賽打法中有一些例外。例如，在錦標賽中你可能為了保護特定數量的籌碼而更加規避風險，因而表面籌碼量與牌局討論更相關。

計算底牌組合

有些牌手記得「德州撲克中有1326 種不同的起手牌」這樣的數據，但那有什麼用呢？撲克數學不在於收集事實，而在於了解那些影響你決定的有用的信息。我們來看看計算底牌組合數量如何幫助我們改進我們的打法。我們先從討論基礎知識開始。

　　首先，「1326 種不同的起手牌」這個數字從何而來？你的底牌包括兩張牌。第一張牌可能是52張撲克牌中的任何一張，第二張可能是剩餘51張牌的任何一張。因此，起手牌有52 x 51 = 2652種組合。因為9? 2? 和2? 9?相同，我們將結果除以2，得到我們的最終答案：1326。

　　這個數字也被表述為「52選2」，從52張撲克牌中選出2張牌的所有方式的數量。（A選B）是在不考慮次序的情況下，從A對象中選出B對象的所有方式的數量。

　　(A選B) = A! / B! x (A – B)! ，這裡N! = 1 x 2 x … x N。

　　例如：

(3選2) = 3! / (1! X 2!) = 3

(A選2) = A x (A – 1) / 2

　　這些起手牌中有多少口袋對子JJ？撲克牌中有4張J，為了拿到口袋對子JJ，你需要發到兩張J。這屬於4選2情況，4選2 = 4! / 2! x 2! = 24/ 2 x 2 = 6，你有6種方式拿到口袋對子JJ。作為驗證，我們列出這6種方式：J? J? , J? J?，J? J?，J? J? , J? J?和J? J?。

　　起手牌有多少種可能的AK組合？A有4種可能，而K也有4種可能，因此總共有16種不同的AK組合。因為A和K來自不同的群組，沒有任何理由將這個結果除以2。任何A都可以和任何K組合，構成一手不同的牌。在16種AK組合中，4種是同花組合，12種是非同花組合。

　　在德州撲克中用計算來推理很重要，但牌手們往往犯了不去計算的錯誤。下面我們用兩個例子來了解這個重要的概念。

例1：你的底牌是2? 2?，翻牌是K? T? 2?。

行動：你翻牌圈擊中了最小暗三條。一名玩得很緊的牌手下注，你加註，他再加註。你推斷出他很可能拿到了一手強牌，比如頂對或強聽牌，而且你擔心他拿到了暗三條。

問題：對手可能拿到多少種構成暗三條而不是其他強牌的底牌組合？

解答：因為牌局中已經出現了三張2，他不可能再拿到三條2。還有3張10未露面，意味著 3 x 2 / 2 = 3種（3選2）不同的三條10組合。同樣，三條K也有3種組合，使得對手有6種構成暗三條的組合。

　　頂對又是一個大不一樣的故事。這種牌的第一張牌是3張K中的1張。第二張牌不可能是K、10或2，這種牌有52 – 12 = 40張。因此，總共的頂對組合數是 3 x 40 = 120。（我們不用把結果除以2，因為第一張牌和第二張牌來自不同的底牌群組。）

　　這裡只存在一種可能的高對：口袋AA。口袋AA有6種組合（4選2）。我們的對手有3 x 3 = 9種方式拿到KT，構成頂大兩對，但只有3 x 1 = 3種方式拿到K2，和3種方式拿到T2，總共存在15種兩對組合。

　　對手有4 x 4 = 16種QJ組合可以讓他拿到兩端順子聽牌。那麼這裡存在多少種同花組合可能呢？總共13張黑桃中的3張已經發出（公共牌的2張和你手中的1張）。因此，黑桃同花聽牌存在10選2 = 10 x 9 / 2 = 45種組合。因為我們已經在順子聽牌組合中包括了Q?J?，故這裡存在16 + 45 - 1 = 60種強聽牌組合。

　　因此，相比6種更大的暗三條，這裡存在120 + 6 + 15 + 60 = 201種比最小暗三條弱的成手牌和聽牌組合。

　　你可能會說，根據翻前和翻後的行動，這個緊手更可能玩口袋對10，而不是K3或9?4?組合。雖然我們同意你的看法，但這個例子想表述的是，非暗三條組合要比暗三條組合多得多。即使你給對手一個更受限的範圍，比如任意兩張大牌（10以上點數），這種說法仍然正確。

　　具體地說，如果你的對手必須用兩張大牌遊戲，那麼他有6種暗三條組合，36種頂對組合，6種高對組合，9種兩對組合，18種聽牌組合，總計有69種成手牌及聽牌組合比最小暗三條差。如果你給對手一個翻前只用AK和TT以上口袋對子遊戲的範圍，那麼他有6種暗三條組合，18種AK和AA組合。除非你堅信對手沒有拿到暗三條就不會在翻牌圈對你再加註，你應該傾向於認為自己拿到了最好的牌。

例2：你的底牌是Q? Q?，翻牌是Q? J? T?。

問題：現在多少種底牌組合能打敗你？

解答：這副牌中還剩下10張紅桃，任意兩張紅桃底牌能用同花或同花順打敗你。如我們之前計算同花聽牌的數量一樣，存在10 x 9 / 2 = 45種可能的雙紅桃組合。

　　對手可以拿到三種可能的順子：由AK構成的A高順子，由K9構成的K高順子以及由98構成的Q高順子。每種順子有16種組合（4 x 4），將結果乘以3，得出48種組合。但是，3種同花順組合（A? K?、K? 9?、9? 8?）已經被計算在雙同花組合內，因此只有45種組合是新得出的。

　　總計有90手牌能打敗你。這並不意味著頂大暗三條是一手弱牌。它仍然領先於很多牌，即使你目前落後於同花或順子，你仍可以改進成葫蘆。然而，這裡的頂大暗三條不像非協作公共牌面（乾燥牌面）的最小暗三條那樣強，因為它落後於很多牌，而且很多牌可以反超它。其他691手牌都落後於頂大暗三條，但這些牌至少有個卡順聽牌或同花聽牌。

　　你在翻牌圈還有47張牌沒看到，因此對手所有可能拿到的底牌的數量是47 x 46 / 2 = 1081。第二個例子中的Q? Q?將被1081手牌中的90手牌打敗，或者說被對手約8.3%的牌打敗。而在前例中，它只被1081手牌中的6手牌打敗，或者說被對手約0.55%的牌打敗。因為底牌組合的數量，你需要對手在第一個例子中展現出更多的力量，才會擔心你的三條2。

　　在德州撲克的推理中，計算是一個重要的部分，在本書中，我們將自始至終使用組合推理。