光束分束器(Beam Splitter) 3. 量子光學描述以及對Fock態的變換

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這次把剩下的東西都寫完, 信息量可能有點大.

BS 的作用, 用量子光學的語言描述, 是對兩個空間模式做幺正操作. 用產生算符描述便成為:

$a^dag rightarrow costheta a^dag + ie^{-ivarphi}sintheta b^dag$

$b^dag rightarrow ie^{ivarphi}sintheta a^dag + costheta b^dag$ .

注意到, 上面兩個變換式滿足我們在講經典BS模型得到的, $delta_L+delta_R=pi$ 這個關係. 這就是BS對於光子作用的顯式形式.

儘管我們得到了BS顯式的變換關係, 並且這兩個表達式也的確和經典的BS變換十分相似, 但這還不夠. 在量子力學中, 我們總希望能找到一個演化對應的哈密頓量, 那麼BS的哈密頓量是什麼呢? 事實上已經有人找出來了, 即:

$mathcal{H}=theta e^{ivarphi}a^dag b + theta e^{-ivarphi}ab^dag$ ,

由於 $a^dag$ 與 $b^dag$ 均為算符, 故這二者在此哈密頓量下的演化應按 $Rrightarrow U^dag RU$ , 其中 $U=e^{-imathcal{H}}$ . 利用Hausdorff公式, 通過一些不複雜的推導便可得顯式的變換式.

於是一般地, BS對於態 $|m,nrangle$ 的變換便呼之欲出了. 態 $|m,nrangle$ 的變換可以寫作:

其中 $lambda=frac{1}{sqrt{m!n!}}$ . 於是我們只需關注 $U(a^dag)^m(b^dag)^nU^dag=(Ua^dag U^dag)^m(Ub^dag U^dag)^n$ , 將變換後的算符作用於真空態便可得最終結果:

這是一個一般性的結果. 不妨舉一個簡單的例子: $m=n=2,~theta=pi/4,~varphi=0$ , 對應於輸入態為 $|2,2rangle$ . 將以上這些值帶入上式, 便得 $U|2,2rangle=-sqrt{3/8}(|4,0rangle+|0,4rangle)+1/2|2,2rangle$ .

以上計算過程對線性量子光學線路的設計可能會有較大的幫助, 包括但不限於BS的一類干涉器件均可用上述方法, 無需特別地額外考慮全同性(事實上這個過程已經包含了全同性的考慮, 只是過程更簡潔了一些)便可計算比較複雜的各種光學線路.