Emile Mathieu和他的五個置換群(III)

01-29

注: 題圖是Ferdinand Georg Frobenius 1904年對 $M_{24}$ 群特徵標的計算結果。

題圖來源：über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1873年，也就是發表 $M_{12}$ 的構造12年之後，Mathieu再次在Liouville Journal上發表了一篇關於置換群的文章。他在文章的開篇直截了當地說：

Dans mon Mémoire sur les fonctions de plusieurs quantités publié dans le tome VI de ce Journal, en 1861, jai déclaré (p. 274) que je possédais une fonction cinq fois transitive de 24 quantités, dont jai donné en même temps le nombre des valeurs distinctes.
我在發表於本刊1861年第六期關於多重可遷群的文章中提到(274頁)：我得到了24個字母上的五重可遷群，並且得到了[它的階]。

Si javais indiqué deux substitutions qui la laissent invariable et qui la caractérisent empiétement, il e?t été facile de vérifier son existence; mais, au contraire, la seule indication du nombre de ses valeurs distinctes ne jette aucune lumière sur la formation de cette fonction. Aussi aucun géomètre na-t-il essayé, depuis cette époque, de la déterminer, et je me propose maintenant de prouver quelle existe effectivement et de montrer, de plus, comment je suis parvenu à la découvrir.
[如果我可以給出群的兩個生成元]，那麼驗證群的存在並不困難，但是，只知道[群的階]並不能給出群的構造方法。到現在為止還沒有數學家嘗試去構造它，那麼我就證明它確實存在，並且展示一下我是如何發現這個群的。

要理解Mathieu 的構造，我們還得回到Mathieu 1861年的文章。Mathieu 1861年文章的第四節處理的是Galois時代遺留下來的老問題：研究p個字母(p是質數，下文同)上的可遷群。從這一節的內容看來，Mathieu已經證明了如下事實：

——p個字母上的可遷群必然包含一個p-輪換；

——p個字母上的可遷群包含p-子群的個數模p餘1；

(很明顯，這兩個命題其實是Sylow定理的特殊情況！)

——p-子群的正規化子同構於 $mathbb{F}_p$ 線性變換群 $zmapsto az+b,aneq 0$ 的子群。

(這個群中的全部偶置換同構於 $zmapsto a^2z+b,aneq 0$ 的子群。)

——(Galois)p個字母上的可遷群如果是可解群，那麼它同構於 $mathbb{F}_p$ 上的線性變換群 $zmapsto az+b,aneq 0$ 的子群。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mathieu 1873年文章的內容部分相當於1861年文章的延續。這篇文章前半部分的構造可以這樣概括：

構造交錯群 $A_p$ 非平凡且不可解的可遷子群G。

Mathieu所做的本質上是從G的Sylow p-子群出發構造p個點上的可遷群。Mathieu首先從一類特殊的質數p著手。這類質數p與另一個奇質數q滿足如下關係：

$p=2q+1.$

在這樣的條件限制下，如果 $Gleq A_p$ , 那麼G的Sylow p-子群的正規化子是最簡單的，階只有兩種可能：p或pq。前者是不可能的，因為此時Sylow p-子群的個數就是G的階除以p, 注意到p的字母上的Sylow p-子群只能是p階循環群。由此可以推知：G去掉所有p階元後剩餘元素個數是G的階除以p。然而對任意一點的穩定子群與p-群只有平凡交，而且階也是G的階除以p，因此對任意一點的穩定子群穩定所有元素，這說明：這樣的群G只能是循環群。

我們轉而研究正規化子的階為pq的情形。Mathieu在此提出了一個構造p點上可遷群的演算法。我們用現代語言來重新描述：

A)群G的Sylow p-子群的正規化子的階是pq。G的Sylow q-子群最多階為 $q^2$ ,然而這樣的Sylow q-子群中必然含q-輪換，它有3個以上不動點。根據第一篇中Jordan的定理，群G必然包含交錯群 $A_p$ ，因此G的Sylow q-子群也是循環群，而且每個q階元素是兩個q-輪換的乘積。

B)假設Sylow q-子群在G中的正規化子存在階不為q的置換 $tau$ 。注意Sylow p-子群並不屬於這個正規化子。那麼Sylow p-子群的正規化子與 $tau$ 生成的群就可能是我們所需要的群。

C)Mathieu明確地寫下了q-子群在 $A_p$ 中正規化子的可能形式(實際上他已經寫出了正規化子所有非平凡元素的置換表示)。記群中的q-階元素為 $(x_0^{prime},x_1^{prime},cdots,x_{q-1}^{prime})(x_0^{primeprime},x_1^{primeprime},cdots,x_{q-1}^{primeprime})$ 。那麼q-子群的正規化子將 $x_{z}^prime$ 以及 $x_{z}^{primeprime}$ 映射為 $x_{gamma^u z}^prime$ 和 $x_{gamma^u z}^{primeprime}$ ,其中 $gamma$ 是q的原根，u是非負整數，角標在模q相等的意義下是等價的。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

滿足Mathieu要求的質數p可能有無窮多個，最小的三個正是p=7, 11, 23。Mathieu在舉出這樣的質數後，緊接著就是一連串的計算。我們這裡來部分復現Mathieu的計算過程。

——不妨設Sylow q-子群在 $A_p$ 中正規化子的某個元素穩定字母1。

::p=7, 此時q=3, 循環群為2階，Sylow q-子群的正規化子共有三種可能；

::p=11, 此時q=5, 循環群為4階，Sylow q-子群的正規化子共有5*2=10種可能(為什麼？)；

::p=23, 此時q=11, 循環群為10階，Sylow q-子群的正規化子共有11*3=33種可能；

——根據Mathieu演算法的C)部分，我們就可以明確寫出Sylow q-子群生成元的置換表示。對於p=7，驗證三種情形還相對容易。但是驗證p=11和p=23的情形就比較困難，因為需要驗證的群的數量相當可觀(儘管如此，從Mathieu的文章看來，相關的演算他是扎紮實實地做過的！)。為了驗證所得的群是不是交錯群，我們需要找出正規化子的置換表示。Mathieu是這樣做的：

——Sylow p-子群的生成元在 $mathbb{F}_p$ 上可以有如下表示： $zmapsto z+1,zmapstogamma^2z$ ,其中 $gamma$ 是p的一個原根。映射 $zmapstogamma^2z$ 可以生成Sylow q-子群。我們如何表示q-的正規化子呢？注意到正規化子 $tau$ 必然滿足函數方程 $tau(gamma^2z)=gamma^{2l}tau(z)$ ，l是模p-1不為0的整數。同時我們額外要求 $tau(1)=1$ ,那麼 $tau(z)=z^l$ ,當z是p的二次剩餘； $tau(z)=gamma^{beta(1-l)}z^l$ ,當z是p的非二次剩餘， $beta$ 取值限定為奇數。這些正是1873年Mathieu 論文第四節的內容；

——Mathieu聲稱自己有一些判斷可遷群是否為交錯群的演算法，但是他認為自己的證明不夠簡潔，不適合發表。

——Jordan的定理仍然可以用在此處。只要在生成群中找到一個長度為質數的輪換，而且它有三個以上不動點，那麼這個群一定包含交錯群。

——我無法想像Mathieu在那個沒有計算機的時代為此做了多少計算。他的計算可以歸結為:

p=7, 此時 $gamma=3,l=-1,beta=1,-1$ ；[兩個群均同構於 $mathrm{PSL}_3(mathbb{F}_2)$ ]
p=11, 此時 $gamma=2,l=-1,beta=3,-3$ 或 $gamma=2,l=2,beta=3,-3$ ；[前者與 $mathrm{PSL}_2(mathbb{F}_{11})$ 同構，是2-可遷群，後者正是 $M_{11}$ ，是4-可遷群。而且很容易看出，前者包含在後者當中]
p=23, 這時的情況是最複雜的。Mathieu首先說明：Sylow 11-子群的正規化子中不存在2階元素。那麼正規化子中除11階元素外只能有5階元素。此時可以取 $gamma=5,l=4$ 。未定的只有參數 $beta$ ，有11種可能的取法。Mathieu聲稱11種取法中只有一種滿足我們的要求。但與前面一樣，其實是有兩種取法符合要求的，此時有 $beta=1,-1$ 。生成的群是23個點上的4-可遷群，我們今天稱之為 $M_{23}$ ，它對23點中任意一點的穩定子群是3-可遷群，我們稱這個群為 $M_{22}$ 。
Mathieu宣稱：如果我們考慮 $mathbb{F}_pcupinfty$ 上的映射 $zmapsto-frac{1}{z}$ ,把它添加到上面的生成的群當中，那麼我們可以得到8個點上的3-可遷群，12個點上的3-可遷群，12個點上的5-可遷群以及24個點上的5-可遷群。最後這個就是Mathieu 1861年公布的那個多重可遷群，我們稱之為 $M_{24}$ 。
Mathieu得到的群總是兩個一組出現的。它們是否同構呢？答案是肯定的。構造並不複雜，只需藉助 $mathbb{F}_pcupinfty$ 上的映射 $zmapstofrac{1}{z}$ 。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mathieu 本人認為：如果p=2q+1，p以及q都是質數，那麼有可能根據上面描述的過程構造出其他的多重可遷群來。對於p=7,11,23，Mathieu成功地構造出了這些群。但Mathieu是過於樂觀了。1874年Jordan發表了一篇文章，在文章里Jordan對Mathieu的工作做了一些評論：

Les deux premiers nombres de cette forme qui se présentent après 23 sont 47 et 59. Cest sur eux quont porté nos recherches; mais les résultats quelles nous ont donnés ont été négatifs. Nous avons, en effet, trouvé quil nexiste aucun groupe transitif de degré 47 ou 59, en dehors de ceux qui sont contenus dans le groupe linéaire. Il en faut conclure que les groupes cinq fois transitifs de degré 12 et 24 sont dus à des causes plus cachées et plus exceptionnelles quon ne lavait supposé au premier abord.
大於23的頭兩個這種類型的質數是47和59。我們就是對這些質數展開研究的，但是得到的結論是否定的。我們實際上發現，除了包含在線性群中的那些群以外，沒有[在47點和59點上不同於交錯群及對稱群的]可遷群。因此12點以及24點上的五重可遷群[的存在]一定是由於某些隱藏更深更不尋常的[理由]，[這些理由]並非一目了然。

今天我們知道，Mathieu確實是撞了大運。根據Liebeck 1987年的論文，我們知道，Mathieu給出的群 $zmapsto a^2z+b,aneq 0$ 在絕大多數p個字母的交錯群中都是極大子群。例外只有4個: p=7,11,17, 23. 而且根據有限單群的分類定理，可以導出：Mathieu研究的p=2q+1(p,q均為質數)個點上的可遷群或者包含在 $mathbb{F}_p$ 線性變換群 $zmapsto az+b,aneq 0$ ，或者是對稱群或交錯群。換言之，用Mathieu的方法絕大多數情況下只能得到交錯群。對於p=23, Mathieu他得到的真的不是交錯群么？這個疑問在Mathieu去世後50年才得到了確定的答案：這個群確實不是交錯群。