關於筆記/文章/博客的一些收集

01-29

對過往推薦的整合。

1.關於Galois connection的簡單介紹

三次對應一次與兩次對應零次——Galois connection (下)

三次對應一次與兩次對應零次——Galois connection (上)

http://www.cs.cmu.edu/~emc/15817-s11/lect-mar30.pdf

2.博客推薦 Fight with Infinity

博客里有很多很有價值的硬文章，例如代數數論， Weierstrass定理，單值化定理，有理域上的代數曲線，量子數學，Cartan-Chern理論，瞬子的幾何，Hodge理論，K理論，Lie群及其表示，指標定理的介紹以及總結，算是網路上少見的中文的數學專業向博客。還有最近更新的Weil猜想漫談 Ⅰ：zeta種種，可配合盧昌海的《黎曼猜想漫談》食用。

Fight with Infinity

3.數學物理專欄推薦 This Weeks Finds

最近偶然發現了一個數學物理每周專欄（已停更），其名為This Weeks Finds。

作者John Baez是一位有名的數學物理學家，其在math department at U. C. Riverside（位於California）工作。

這個欄目從1993年開始，到2010年結束，上面有很多有趣的內容（物理居多…）

This Weeks Finds John Baez

4.博客推薦 Climbing Mount Bourbaki (約67頁)

Climbing Mount Bourbaki

代數幾何、代數拓撲居多，作者在高三時開始構建博客，至大三左右基本停止更新。

5.博客推薦 Annoying Precision (約30頁)

Annoying Precision

一開始有很多圖論（例如Ramsey數），記數公式之類的組合內容，後討論了一些表示和代數幾何內容。上面有一些簡短精巧的筆記，比如用Ramsey 定理證明了費馬大定理在有限域的情形基本上都有非平凡解，還有如何用復疊空間畫出子群，以及關於2維定向緊曲面的歐拉示性數是偶數的五種證明，SU（2）的不可約表示的四五種求法等等。

6.畫廊推薦曲線與曲面

$(x^2+frac{9}{4}y^2+z^2-1)^3 - x^2z^3-frac{9}{80}y^2z^3=0$ ：

Gallery of curves

Algebraic Surfaces Gallery

7.數學類Blog收集

https://ncatlab.org/nlab/show/math+blogshttps://ncatlab.org/nlab/show/math+blogs

8.雜誌推薦《數學譯林》

雜誌推薦之數學譯林

數學譯林

9.博客推薦 Neverending books

【博客推薦】neverending books

lieven le bruyns blog

10.Metamath

Metamath is a project to construct mathematics as proofs in ZFC. This what what we』re all supposed to be doing but in practice proofs tend to be informal arguments that we can convince people could be converted into derivations in ZFC. It looks like a long haul.

11.欄目推薦 What is……？

Notices of the AMS幾乎每期都會有一個What Is...?的欄目，讓expert或graduate來科普一些經典的數學概念，一般都是短短兩三頁，對初學者應該有許多幫助。

Notice of the AMS 這個期刊應該每期都可以在AMS主頁上下載，所以這些欄目應該都是開放的，不過還有好心人專門整理了這個欄目：

見http://arminstraub.com/math/what-is-column

What is...an amoeba? — Oleg Viro, September 2002
What is...the monster? — Richard Borcherds, October 2002
What is...a building? — Kenneth S. Brown, November 2002
What is...an alteration? — Frans Oort, December 2002
What is...a shtuka? — David Goss, January 2003
What is...a gerbe? — Nigel Hitchin, February 2003
What is...a train track? — Lee Mosher, March 2003
What is...a stack? — Dan Edidin, April 2003
What is...a worm? — Harold Boas, May 2003
What is...a bubble tree? — Thomas Parker, June/July 2003
What is...a dessin denfant? — Leonardo Zapponi, August 2003
What is...a curvelet? — Emmanuel Candès, December 2003
What is...a quasi-morphism? — D. Kotschick, February 2004

……

@Mosbic也整理了一份目錄:halois/What-is-...

12 期刊推薦 Bulletin of AMS

【期刊推薦】Bulletin of AMS

Bulletin of the American Mathematical Society

13. 用有限域處理無窮域的方法

Infinite fields, finite fields, and the Ax-Grothendieck theorem

How to use finite fields for problems concerning infinite fields

思路如下:把 $mathbb C$ 換成任何一個有限域,定理自然成立(有限集到自身的映射是單射等價於是雙射)，回到 $mathbb C$ ,P是單射不是滿射可以翻譯成:

現在把Q(x),R(x)的係數及z_0都添加到 $mathbb Z$ 里,得到等式在一個有限生成Z代數上 $A=mathbb Z[a_{ij}]$ 成立,取A一個極大理想m,F=A/m是有限域(證明可見有限生成Z代數（二）),於是等式(1)(2)過渡到有限域F上成立,把P看成F^n到自身的映射,則由(1)P是單射,由(2)P不是滿射,矛盾.

14.從微積分到上同調引言 ——20分鐘介紹代數拓撲的動機

作者：Ib H. Madsen, Jxrgen Tornehave 譯者：陳林

15.TROPICAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS

$mathbb R cup +infty$ 上可以定義環結構:

$a+b := max{a,b}$ $ab:=a+b$ https://arxiv.org/pdf/math/0601041.pdfhttps://arxiv.org/pdf/math/0601041.pdf

16.亞歷山大的帶角球與安東尼的項鏈

①存在 $mathbb R^3$ (三維歐氏空間)中的一個子集A，A與二維球面 $S^2$ 同胚，它內部與開球同胚，然而它「外部」很糟糕，並非同胚於標準球面的外部，並且不是單連通的。

比如亞歷山大的帶角球。

②A與實數集中的Cantor集同胚，但是其又不是標準的Cantor集，因為Cantor集在R^3中的余集是單連通的，而 $mathbb R^3-A$ 不是單連通的。

比如安東尼的項鏈。

17.PREPARING A LETTER/STATEMENT OF PURPOSE/INTENT

https://samms.osu.edu/sites/samms.osu.edu/files/SOP_Guide.pdf

statement里真實的經歷，很有感觸，故作推薦。

18.Zariski』s Main Theorem and some applications

http://www.math.harvard.edu/~amathew/ZMTfull.pdf

關於Zariski theorem，formal function theorem，chevalley theorem等的筆記。

19.關於豆瓣上讀書筆記的一點備份

20.文章推薦 Buildings, Bruhat decompositions, unramified principal series

k是一個域，G是F上nxn可逆矩陣全體，P是其中的上三角矩陣，而n元置換全體Sn可視為置換坐標的矩陣嵌入G，線性代數中有如下定理：

任何一個nxn可逆矩陣都可以寫成一個上三角陣 x 一個置換矩陣 x 另一個上三角陣，並且分解中置換矩陣唯一被原矩陣決定。

一個證明是初等驗證，而用建築理論可以給出一個直觀的證明：

V是固定的n維k向量空間，由此構造一個單純復形X，其頂點是V的真子空間，而每一條V的真子空間的真上升鏈（即一個flag）給出X中一個單形，易見G自然作用在X上。

為了構造建築，任取V的n個1維線性子空間Li，這裡要求所有Li生成整個V。則可由此定義一所公寓A：其是X的一個子復形，頂點集是那些可以寫成一些Li的直和的真子空間(從而頂點有限個），單形則是X的包含在A中的單形。

於是現在有了許多所公寓，驗證一些足夠好的條件後，X成為了一所建築。G強可遷作用在X，並且保持頂點的向量空間維數，同時把一所公寓變成另一所。

取V一組基，那麼自然n條坐標軸給出一組Li，從而得到一所標準公寓，其有一個標準的極大面(即標準的flag)。

考慮保持這所公寓不變的G中元全體商掉保持這所公寓每個頂點不動的元全體，其一組代表元就可以選成Sn，這個商群即Weyl group.而保持標準極大面不變的G中元就是上三角陣全體。

於是由標準的建築理論，G關於保持標準極大面的子群的雙陪集分解的一組代表元恰好由Weyl group給出，即得定理。

具體的討論可見這篇介紹性文章：

http://www-users.math.umn.edu/~garrett/m/v/bldgs.pdf

其略掉了coxeter group的性質和介紹，並且只考慮球型建築，因此看起來會簡單一些。

註：

這種利用群作用在一類對象全體構成的集合上的證明方法有時非常有力，

例如理想類群和Galois群同時作用在帶特定復乘的橢圓曲線的同構類上，可導出復乘理論。

以及在代數數論(16.5):Adele reformulation - 知乎專欄中考慮GLn on finite Adele和GLn on number field同時作用在一類格的pair全體上，得到強逼近定理。

21.Manifolds: Where Do We Come From? What Are We? Where Are We Going?

22.Ore conjecture

Ore conjecture是說

有限非交換單群G中的元都是換位子

首先注意到換位子生成的子群 $[G,G]$ 一定是正規子群，所以如果G非交換單群，那麼一定

$[G,G]=G$ ,所以G中每個元素都是若干個換位子的乘積，換位子的乘積不一定是換位子，而猜想表明，每個元素都是換位子，這是一個很不平凡的結果。

問題的第一個核心想法來自於有限群表示論。

如果G是一個緊Hausdorff拓撲群，則其上有正規化Harr測度 $mu$ （即G體積是1），可以談積分。

現在設G是一個有限群，此時積分定義為 $int_{}^{}f(g)dg = frac{1}{|G|} sum_{g in G}^{} f(g)$ ，就是取函數的平均值。

任取 $chi$ 為G一個不可約復特徵標，對應不可約表示 $rho: G rightarrow GL(V)$

線性映射 $int_{}^{} int_{}^{} rho(txt^{-1}x^{-1})dx dt :V rightarrow V$ 與G作用可交換，由Schur Lemma，其為數乘，取跡得到

$int_{}^{} int_{}^{} rho(txt^{-1}x^{-1})dx dt =frac{id_V}{chi(1)^2}$

所以兩邊複合 $rho(y)$

$int_{}^{} int_{}^{} rho(txt^{-1}x^{-1}y)dx dt =frac{rho(y)}{chi(1)^2}$

取跡得到公式（1）

$int_{}^{} int_{}^{} chi(txt^{-1}x^{-1}y)dx dt =frac{chi(y)}{chi(1)^2}$

現在定義G上delta函數 $phi(e)=1$ ,在其他處全取0，這是一個非負函數。

顯然這是一個類函數，所以是特徵標的線性組合，容易看出

$phi(g) =frac{1}{|G|}sum_{chi}^{} {chi(g){chi(1)}}$ ，下標跑遍所有不可約特徵標。

所以由積分的線性性

$int_{}^{} int_{}^{} phi (txt^{-1}x^{-1}y)dx dt = frac{1}{|G|}sum_{chi}^{} frac{chi(y)}{chi(1)}$

左邊等於0，當且僅當總有 $phi (txt^{-1}x^{-1}y)=0$ ，根據delta函數性質，當且僅當y不是換位子。

於是我們有

G有限群，G中一個元素y是換位子等價於

$sum_{chi}^{} frac{chi(y)}{chi(1)}ne 0$

這表明特徵標表可以用來計算一個元素是不是換位子。

自然而然的想法是：

既然有限單群已經分好類了，一個個來驗證就好了吧

問題出在哪呢？

有限單群分類確實有了，但是group of Lie type的特徵標表我們還沒有完全求出來啊！！

最後定理的證明還藉助於對 $sum_{chi}^{} frac{chi(y)}{chi(1)}ne 0$ 的估計，證明其某些項比其他項貢獻大得多，其證明在2010年完成，可google詳細結果。

23.學習GTM 52時使用過的一些補充讀物

(1)代數幾何中的例子與反例：

筆記推薦:代數幾何中的例子與反例

http://www.math.columbia.edu/~tedd2013/counterexamples.pdfhttp://www.math.columbia.edu/~tedd2013/counterexamples.pdf

http://www.math.columbia.edu/~tedd2013/counterexamples.pdf

之前刷52前三章配合使用的筆記，感覺很有幫助。

(2)Topics in algebraic geometry :

https://arxiv.org/pdf/1104.5035.pdf

52前三章的補充讀物，主張範疇論角度。

(3)例子比較多的交換代數筆記

http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/commalg-2013/main.pdf

http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/main.pdf

http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2014/main.pdf

……

前半部分大概覆蓋Hartshone前三章的內容(一個遺憾是沒有證Serre duality), 而且還補充了很多古典的知識。後面還有香蕉理論和陳類的相關介紹。

③Algebraic Geometry(2015版)

沒有上同調，是②的精簡版。

(4)Notes on sheaf cohomology

http://math.stanford.edu/~notzeb/sheaf-coh.pdf#page6

Grothendieck譜序列是在說:

給兩個左正合函子F、G: $cdot overset{F}rightarrow cdot overset{G}rightarrow cdot$ (假設所有範疇都Abel並且have enough injectives), 假設

F把injective object 映成G-acyclic的,則對任何object A都存在如下譜序列:

即函子的複合的導出和函子的導出的複合滿足和微積分中導數複合求導鏈式法則類似的關係。

我們關心如下一些特例:

如果F有一個正合的左伴隨,那麼其preserves injectives從而滿足上述要求
F滿足要求,並且F,G有一者是正合的,此時譜序列退化,我們得到用兩種方式算的導出「一樣」

應用:

①

Leray spectral sequence

對拓撲空間的連續映射

以及任何sheaf of abelian groups F on X

均成立

Pf: $(S_X overset{f_{*}}rightarrow S_Y overset{Gamma(Y,-)}rightarrow Ab)=Gamma(X,-)$ , $f_*$ 有一個正合的左伴隨 $f^{-1}$

②

Hochschild Serre spectral sequence

N是G的正規子群,則成立

$H^p(G/N, H^q(N, A)) Rightarrow H^{p+q}(G, A)$

Pf:考慮N不變函子與G/N不變函子的複合即為G不變函子

推論:(Inflation-restriction exact sequence) $0 rightarrow H^1(G/N, A^N) rightarrow H^1(G, A) rightarrow H^1(N, A)^{G/N} rightarrow H^2(G/N, A^N) rightarrow H^2(G, A).nn$

③

X是一個拓撲空間,則注意到

$(S_X overset{F}rightarrow P_X overset{Gamma(X,-)}rightarrow Ab)=Gamma(X,-)$

其中F是忘性函子(其有一個正合的左伴隨即sheaf化),而presheaf的global section functor是正合的,所以譜序列退化從而

$R^qF(mathcal F)=H^q(X,mathcal F)$

上面的討論對任何開集U的section functor都成立,從而得到:

F的第q個導出函子就是 $mathcal{H}^{q}(mathcal F)(U)=H^q(U,mathcal F)$ 對應的presheaf.

再注意到

$(S_X overset{F}rightarrow P_X overset{+} rightarrow S_X)=id$ (+表示sheaf化)

+和id都是正合函子,從而得到

F的第q個導出函子 $U rightarrow H^q(U,-)$ 對應的presheaf的sheafification是0(q>0).

再注意到

$(S_X overset{F}rightarrow P_X overset{{check {H}}^{0}}rightarrow Ab)=Gamma(X,-)$

其中 ${check {H}}^{0}$ 表示0階的Cech cohomology,於是我們得到cech cohomology與 sheaf cohomology的關係(注意到 ${check {H}}^{0}$ 的p階導出就是p階的Cech cohomology):

${check {H}}^{p}(X,mathcal{H}^q{mathcal(F)}) Rightarrow H^{p+q}(X,mathcal F)$

④

Ringed space $(X,O_X)$ 上的sheaf of $O_X$ module當成sheaf of abelian group算上同調和在 $O_X -mod$ 範疇里算導出函子結果一樣.

這是因為忘性函子是正合的,而 injective $O_X$ module是flasque的從而零調.

同理,

對ringed space之間的連續映射

$f_{*}:O_X-mod rightarrow O_Y-mod$ 與 $f_{*}:S_X rightarrow S_Y$ 導出一樣

這是因為兩個忘性函子正合,並且 $f_*$ preserves flasque sheaf,所以injective的像是零調的,然後對

$(O_X-mod overset{f_{*}}rightarrow O_Y-mod rightarrow S_Y)=(O_X-mod rightarrow S_X overset{f_{*}}rightarrow S_Y)$ 用兩次退化的譜序列即可.

④Local-to-global Ext spectral sequence

${displaystyle E_{2}^{p,q}=operatorname {H} ^{p}(X;{mathcal {E}}xt_{mathcal {O}}^{q}(F,G))Rightarrow operatorname {Ext} _{mathcal {O}}^{p+q}(F,G).}$

這是因為 $mathcal {H}om$ 的global section就是 $Hom$ ,同時 $mathcal {H}om$ 函子會把injective module變成flasque(by definition of injective module)的從而零調.

(5)一本參考答案供改正。

cheat set https://Math 256A - Algebraic Geometry

24.如何撰寫第一篇數學論文 - 知乎專欄

25.Perfect Cuboid （著名的開問題）

是否存在一個棱長，面對角線，體對角線都是整數的長方體？

這樣的長方體叫做完美長方體

如果去掉體對角線是整數的要求，那麼這樣的例子是有的，例如（a,b,c）=(44, 117, 240) ，這樣的例子稱為Euler brick

26.Notes on Galois representations

(1)http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/fbouyer/galois_representations_study_group.pdf

(2)http://www.math.ias.edu/~rtaylor/longicm02.pdf

27.Periods
Periods Kontsevitch and Zagier

注:

①這種積分表示往往是有用的,舉個簡單的例子:

$sum_{n=0}^{infty}frac{1}{(2n+1)^2}=int_0^1int_0^1frac{dxdy}{1-x^2y^2}$

通過對積分區域簡單的變換將給出

$sum_{k=1}^{infty}frac{1}{k^2}=frac{pi^2}{6}$

② $1/pi$ ,e,歐拉常數等通常被猜測不是周期。

③一個比Zaiger的文章更短的介紹可見Notice欄目的WHAT IS A PERIOD ?

④period全體構成元素個數可數的環P(period ring),每一個period都是可計算的,這是我們關心它們的原因之一.

⑤通常還考慮extended period ring $hat P=P[frac{1}{pi}]$ ,可以證明許多特殊值都落在這個環里.

⑥就和劉維爾製造出第一個已知(可計算的)不是代數數的數一樣,是不是能夠人工構造可計算的nonperiod呢?

直到2008年這個問題才被解決—— Masahiko Yoshinaga 構造了一個這樣的例子。

28.What is in the book 「Automorphic forms on GL(2)」 by Jacquet and Langlands?http://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/maths/research/notes/summary_of_first_bit_of_jacquet_langlands.pdf29.文章推薦：Classifying automorphic representations

http://www.claymath.org/library/cw/arthur/pdf/76.pdf

http://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/maths/research/notes/summary_of_first_bit_of_jacquet_langlands.pdf

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