不等式的魔法日常

一道題目

答案

　　當時，有。

如何表示面積？

　　我們不妨設為，為。容易證得且。則我們可以列得勾股方程：

　　展開整理得：

　　我們有，但是接下來問題來了：是以關於的一個分式表示的。

　　我們能把這個式子處理一下嗎？

　　不妨先將常數提取出來：

　　移項：

　　若令，，則有：

　　很好，我們得到了一個反比例函數。將與帶入可得：

　　因為取最大值，所以當取最小值時有。於是，我們現在的問題變成了：已知，求。

均值不等式

　　均值不等式：

　　其中第一項稱為調和平均數，第二項稱為幾何平均數，第三項稱為算術平均數，第四項稱為平方平均數。中間兩項稱為算術—幾何均值不等式。

　　當時，我們有：

　　我們只需要用到中間兩項（即算術—幾何均值不等式的特殊情況）：

　　如何證明？

　　不難發現在時滿足上式取等。則：

　　將其代入可得：

　　當然，這道題還有其它解法，例如轉化成關於的二次方程求滿足有解時的範圍得到答案，由於這種方法太複雜，此處不討論。

附加題

　　已知在凸透鏡成像中，像距為，物距為，焦距為，三者滿足。求的值？（用含的代數式表示）

解析

　　將原式變形：

　　根據算術—幾何均值不等式：

　　將代入：

　　因為：

　　所以有。

　　本文同步發表於我的博客。

　　本人才疏學淺，難免有錯漏之處，請於評論區指正，謝謝。

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