微積分的歷史（一），起源之背景

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前言：微積分的歷史這個專題，準備沿著《微積分的歷程》這本書鋪下的道路，進行一些不一樣的創作，寫一寫我對微積分發展的認識。n

作為高等數學的基礎，微積分肯定不是沙漠之花。各種需求、各種思想的交匯最終孕育出了它。

1 微積分產生的時代背景

興趣或許是動力，不過我覺得需求是更好的動力。

1.1 研究天文

要說一個充滿好奇心的人，不會對天空中的日升月落、浩瀚的宇宙產生興趣，那實在是不可能。可以說，在對星空的研究中產生了科學。

到了中世紀的西方，整個科學界最重要的課題就是研究天文。當時的宗教認為「科學」是接近上帝的梯子（我對宗教史不熟悉啊，求不打臉），另外上帝居所也是在宇宙深處，所以研究天文學大部分目的是為了證明上帝的存在，誰知道......

當時最激烈的爭論是「地心說」和「日心說」，也就是到底太陽圍著地球轉、還是地球圍著太陽轉，這直接決定了到底聖經更正確、還是科學更正確。為了這個布魯諾都被燒死了。

怎麼判斷哪個正確呢？所謂真金不怕火煉，誰可以準確預測行星的運行軌跡，誰就正確（所以說西方的科學精神是由來已久的，上帝這種事情都交給了理智）。

克勞狄烏斯?托勒密（約90－168），是一位埃及希臘作家，同時也是數學家、天文學家、地理學家、占星家。他最著名的書是《至大論》，其中闡述了地心說的核心觀點。

托勒密的宇宙模型是「地心說」的大成，很長一段時間歐洲學校教授的都是托勒密的宇宙模型，它也真能正確地預測不少行星軌跡，就是有細小的誤差，差個一天兩天的在天文這個尺度都不算個事。可是究竟有誤差。

第谷·布拉赫（1546 －1601），丹麥貴族，天文學家兼占星術士和鍊金術士。他最著名的助手是開普勒。

第谷是「地心說」的擁護者，他最大的財富是20多年的丹麥皇家天文台的觀測數據，通過這些數據他預測了彗星的光臨，他臨死的時候把這個數據交給了開普勒（但是貌似沒有書面文件說明開普勒可以使用這個數據，所以後面還扯了些官司出來）。

約翰內斯·開普勒（1571－1630），德國天文學家、數學家。開普勒是十七世紀科學革命的關鍵人物。

開普勒繼承了第谷的天文觀測數據之後，就以「日心說」為假設，花了好幾年的時間，日算月算，歸納總結出了開普勒三定律（是的，活生生的通過數據猜出來的，直到後來牛頓發現了萬有引力定律才真正解釋了開普勒三定律），精確的預測了以前托勒密地心說所預測不準確、或者預測不了的天文現象。所以，在開普勒之前「日心說」只是假說，之後才真正被科學所接受。

我們來看看其中的開普勒第二定律：

在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的
開普勒第二定律

聽起來比較枯燥，看看下面的動畫（中心黃色的表示太陽，橢圓表示行星運動軌道，橢圓上的藍點表示行星，用不同的色塊把橢圓分成8個部分，每個部分面積相等，可以觀察到通過每個色塊的時間差不多都在14左右）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

因為要求掃過的面積，不是每個人都能夠像開普勒一樣吭哧吭哧的傻算的，必須有定積分的知識才能讓這個定律真正應用起來。

1.2 研究運動

開普勒第二定律除了需要計算面積外，還需要計算物體的運動。

關於運動，伽利略、牛頓一直都在努力，搞出了加速度、瞬時速度這些概念，那麼要計算物體的運動，就需要有微積分：

1.3 研究光學

也是出於天文研究的需要，製造望遠鏡片時的打磨也需要數學的支撐，其中最重要的就是切線、法線的計算：

1.4 研究最值

中世紀的歐洲除了形而上的宗教以外，還充滿了戰爭。戰場上就需要計算在相同的條件下，炮筒與地面的夾角變化會引起的如何變化，什麼時候可以打得最遠：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

這也需要微積分來解決最值問題。

1.5 小結

實際上還有相當多的問題需要微積分來處理，你想想，微積分既然是高等數學的最重要的工具，那基本上沒有科學可以繞開微積分了。

2 歷史淵源

牛頓曾經說過：「如果說我看得比別人更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上。」我們來看看，牛頓是站在哪些巨人的肩膀上。

2.1 芝諾悖論

芝諾（盛年約在公元前464-前461），生平不詳，他提出來的四個悖論被亞里士多德所轉述，因為是從批判的角度出發，所以到底他真正的意思是什麼已經不得而知了。

古希臘的哲學家對於空間和時間主要有兩種看法：

時間和空間都是無限可分的
時間和空間都有有限可分的（有最小的尺度）

芝諾就針對這兩種情況，分別各提出兩個悖論，我各選一個來介紹一下。看看古代人對無限的認知是怎麼樣的。

2.1.1 兩分法悖論

兩分法悖論，這個是針對「時間和空間都是無限可分的」這個觀點的：

這個問題的本質是，如果空間是無限可分的，那麼你不能在有限的時間內通過無限多的點。

亞里士多德的反駁是：

上面是通過思辨的方式反駁的，換成數學的方式就是： $frac{1}{2}+frac{1}{4}+cdots +frac{1}{2n}+cdots =1$

即此數列收斂， $B$ 點一定可以到達。

2.1.2 飛矢不動悖論

飛矢不動悖論，這個是針對「時間和空間都是無限可分的」這個觀點的：

芝諾問他的學生「一支射出的箭是動的還是不動的？」
「那還用說，當然是動的。」
「確實是這樣，在每個人的眼裡它都是動的。可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？」

「有的，老師。」
「在這一瞬間里，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？」
「有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。」
「那麼，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？」
「不動的，老師」
「這一瞬間是不動的，那麼其他瞬間呢？」
「也是不動的，老師」
「所以，射出去的箭是不動的？」