從今天起忘掉運氣，相信概率
有一首歌想必很多人都聽過：
「苦海翻起愛恨，在世間難逃避命運......」
人世間確實有很多命運難以逃避，比如生老病死，比如悲歡離合。但是除了這些必然的共同命運，人和人之間還有很多不同，甚至是巨大的不同 —— 有的人富可敵國，有的人窮困潦倒，有的人意氣風發，有的人鬱郁不得志......
為什麼會有這樣的差別？
很多人將命運歸結到運氣上 —— 「力拔山兮氣蓋世，時不利兮騅不逝」，「時來天地皆同力，運去英雄不自由」......
查理君並不想完全否定運氣，但更想說的是，相對於寄希望於運氣，你還有更好的選擇 —— 相信理性。
而今天的主題「概率」，就是一門運用理性的數學思維來理解和把握不確定性的學問。
----- 一條概率為1的分隔符 -----
◇ 你要換掉手裡的牌嗎？
在正式開始討論概率之前，我們先來玩一個撲克小遊戲。這個遊戲是查理君受到一部電影的啟發而設計的，簡單好玩，規則如下：
查理君手裡有3張撲克牌，分別是A、K、K。你任意抽一張牌，如果抽中A就給你1塊錢，抽中K就什麼也沒有。
是不是很簡單？在這個遊戲里，你沒有任何風險，只管贏錢就好了。
即便你不太懂概率知識，你也能明白，你每次抽中A的可能性是1/3。如果玩99把的話，你能從查理君這裡贏走大概33塊錢。
但是如果我們把遊戲規則稍微變化一下，或許就沒那麼容易想明白了：
基本規則保持不變 —— 仍然是你抽中A就給你1塊錢 —— 但是加了一個小插曲：
當你抽出一張牌之後(先不要看是什麼)，查理君看了一下剩下的兩張牌，從中拿出一張K亮出來，也就是說每次你抽完牌之後，我都會亮出剩下牌里的一張K。
這個時候問你：
你要換掉手裡的牌嗎？
(或者換個問法：當一張K被亮出來後，你覺得換一下手中的牌更好，還是堅持最初的選擇更好？)
……
各位先琢磨一下，我們稍後再回到這個小遊戲。
言歸正傳，讓我們先從為什麼要學習概率說起。
◇ 為什麼要學習概率
為什麼要學習概率？往簡單處講，概率很有用；往複雜里講，概率關係到世界的本質。
也許有人會說，我不懂概率，不也過的很好嗎？對此查理君的回答是，就像任何知識和經驗一樣，沒有它們你也能生活，但是如果你掌握它們，你會過得更好一點，這一點對概率來講更是如此。
我們不妨聽聽大神查理·芒格是怎麼看待概率的：
「費馬-帕斯卡的系統與世界運轉的方式驚人地一致。它是基本公理。所以你真的必須得擁有這種技巧。」
「這麼多年來，我一直跟巴菲特同事；他擁有很多優勢，其中之一就是他能夠自動地根據決策樹理論和基本的排列組合原理來思考問題。」
以上兩段話摘自查理·芒格的《論基本的、普世的智慧，及其與投資管理和商業的關係》演講。
從中我們可以看到，芒格不但教導我們要好好學習概率，還透露給我們一個巴菲特的思考秘訣 —— 使用決策樹和排列組合。決策樹理論中也會用到概率知識，以後有機會我們再談，排列組合就是我們今天要談的概率論的基礎之一。
芒格所說的「費馬-帕斯卡的系統」指的就是概率理論，嚴格的說是古典概率理論。
他關於世界運轉的觀點也一點不誇張。
對於世界運轉的方式向來有兩種認識，一種稱之為「決定論」，一種稱之為「非決定論」。
決定論的兩個代表是拉普拉斯和愛因斯坦。
拉普拉斯是一位對概率論作出重要貢獻的數學家，他寫的《分析概率論》開創了概率論的新階段，拉普拉斯說過這樣一段話：
「我們應當把宇宙目前的狀態看做是它先前狀態的結果，並且是它以後狀態的原因。暫時設想有一位神靈，它能夠知道施於自然界的所有作用力以及自然界所有組成物的各自位置，它並且能夠十分廣泛地分析這些數據，那麼，它就可以把宇宙中最重物體和最輕原子的運動，均納入統一公式。對於它，再沒有什麼事物是不確定的，未來和過去一樣，均呈現在它的面前」。
如果世界真的像拉普拉斯那樣說的，我們在世間可能就真的難逃避命運了，因為整個世界都已經被「決定」了。
然而等到普朗克、愛因斯坦和波爾等人一起開創量子力學之後，「非決定論」派開始逐漸佔領上風。愛因斯坦雖然曾說過：「上帝不擲骰子」，但是今天的人們，更加相信認為隨機性是一種本質。比如，霍金就曾經這樣說過：「愛因斯坦犯了雙重錯誤，量子力學顯示，上帝不僅擲骰子，他有時候還會把骰子擲到我們看不到的地方去。」
大眾對偉大科學家的關注，表明每個人都有一顆想理解世界本質的好奇心。但好奇心終歸只是好奇而已，熱情一過去，人們還是要回到生活中去。他們知道，不管上帝擲不擲骰子，至少麻將桌上我還是要擲骰子的。
但實際上，不僅在麻將桌上，不確定性在人們的生活中無處不在。很多時候，人生的一次次選擇就是一道道概率題。聰明的人，像巴菲特那樣，會運用科學巨人花了幾百年時間總結的概率知識來幫助自己作出選擇，而不聰明的人，如我們大多數，都會選擇跟著感覺走。
但是正如芒格所言，我們確實應該掌握概率。不僅是對世界本質的好奇心，更是因為掌握概率能夠讓我們的選擇更加準確。
理解了概率的重要性之後，下面再談一談人們對概率(數學)無感的問題。
◇ 看到概率就懵逼，你不是一個人
為了寫這篇文章，查理君專門去翻了翻初中數學大綱，發現其實我們早在初中時代就接受了排列組合和概率論的基本訓練。但是就像其它大多數中學知識一樣，大部分人一出校門就把它們還給老師了。
如果現在給你出一道初中概率應用題，你很可能會是這個表情：
好吧，沒事。可以肯定的說，看到概率就懵逼的不是你一個人。甚至不光是概率，對於很多人來說，尤其是文藝小清們，所有的數學公式都會讓他們懵一會兒。
為什麼會這樣？
查理君認為，原因可能在於我們進化的時間不夠長。
《人類簡史》是近幾年很熱門的一本書，作者尤瓦爾·赫拉利給我們描繪了一個人類祖先「智人」走出非洲，邁向全球，依次戰勝其它「人種」，滅絕數不清的大型食肉物種，一步步走向食物鏈頂端的波瀾壯闊的故事。
從這本書中我們可以知道，在人類長達300多萬年的進化史中，我們的祖先的主要「工作」是如何在殘酷的大自然中繁衍生息。一直到近1萬年前，人類還一直在靠著採集樹上的果實和到野外狩獵而生存。相比這漫長的300多萬年人類史，中華文明的歷史才5000年，《幾何原本》的歷史才2000年，而今天的主題概率論的歷史才不過300多年。
這就可以理解，為什麼我們的祖先留給我們的競爭優勢是遇到危險跑的更快，看到甜食就想拚命吃，而不是看到微積分公式就瞬間理解其內涵。
實際上，除非你發生了基因突變而變成非正常人類，否則你對數學的感覺是沒問題的，那就是正常人類的感覺。
解釋完這個疑惑之後，是不是對概率的學習更加有點信心了？
那讓我們穿越回到中學時代的課堂上，再重新上一堂概率課吧。
◇ 一節概率課
查理君喜歡讀史，講概率也不妨從歷史故事開始說起。
366年前在法國有一個叫德·梅雷的人，他是一個軍人、語言學家，同時也是一個水平很高的賭徒。他不但喜歡玩紙牌和骰子，還喜歡研究賭博。
他曾經設計過一個這樣的擲骰子遊戲：
使用1個骰子，連續擲4次，如果至少出現一次6點，就算德·梅雷贏，反之對手贏。
德·梅雷根據經驗判斷，這個玩法對他有利，實際上他確實也贏了不少錢。
後來他稍微改一下遊戲規則：
使用2個骰子，連續擲24次，如果至少有一次得到的骰子之和是12，就算德·梅雷贏，反之對手贏。
這種玩法看起來和原來差不多，但是實際結果卻不太一樣，德·梅雷輸得多贏得少。
諸如這類的問題困擾著德·梅雷，於是他就向當時大名鼎鼎的數學家帕斯卡寫信求教。
最終德·梅雷的一個「賭本分配」的問題引起了帕斯卡的興趣，之後帕斯卡和另外一個法國數學家費馬，使用通信的方式，用了大約1年時間，解決了這個問題，順便也把概率論的基礎給搞出來了。
有趣的歷史課講完了，現在我們開始上數學課 —— 不要睡覺哦：）
第一個問題是：什麼是概率？
為了讓你更有初中課堂的感覺，查理君專門從初中課本上抄來一段概率的定義：
「一般地，如果再一次試驗中，有n種可能的結果，並且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那麼事件A發生的概率為P(A) = m/n。」
看懂了嗎？是不是似曾相識？??
沒看懂的話，舉幾例子說明一下你就明白了：
骰子有6個面，每個面朝上的機會是均等的，總共有6種結果，那麼任一面朝上的概率是1/6；
隨手拋一枚硬幣，正面和反面出現的機會是均等的，任意一面出現的概率是1/2;
假設查理君這篇文章被點贊的概率是1/100，那麼200人看過之後，大概會出現2個贊。
……
其實在實際生活中，我們大部分人都會對可能發生的事情進行粗略的判斷，比如說
「明天不太可能會下雨」；
「佟麗婭有可能會和陳思誠離婚」；
「韓國很有可能會部署薩德」。
…...
但是很少人天生就能夠用「數字」方式對可能性進行刻畫，這僅僅是信息不足的問題，而是我們的大腦的運行方式決定的。人類的大腦就像是以「模擬信號」運轉的電視一樣，對於一切事情，它都只能進行「模擬」思考。而基於數學語言的概率論的優勢就是可以讓我們的大腦從「模擬信號」轉化為「數字信號」，把模糊的「有可能」，「不太可能」轉化為精確的數字表達出來。
比如前面德·梅雷的賭博遊戲，為什麼第一種方式能讓他贏錢，而第二種不行？只靠我們大腦的粗略估計法是註定搞不明白的，唯一的辦法就是運用概率知識進行數學計算，得出每種玩法的準確贏率。
我們來練習一下：
第一種玩法，每擲4次骰子，至少出現一次6的概率是多少？
這種情況用逆向思考更好(關於逆向思考可以參閱查理君的另一篇文章《如何讓別人優雅地屏蔽你的朋友圈》)。
至少出現1次6的相反情況是什麼？對，是每次擲骰子都不出現6。而擲1次骰子不出現6的概率是5/6，連續4次都不出現6的概率為：
(5/6)^4 = 0.482
那麼，4次至少出現1次6點的概率為：
1 - 0.482 = 0.518
也就是說，德·梅雷玩100次這個遊戲，平均會贏51.8次。雖然贏率並不大，但是只要玩的次數夠多，德·梅雷一定會是贏多輸少。
第二種玩法，每擲24次骰子，至少出現一次兩個點都是6點，總和為12的概率是多少？
同樣運用逆向思考。一個骰子有6個面，兩個骰子一起擲，總共能夠出現的組合是6x6 = 36種情況。而兩個骰子同時是6的情況只有一種，也就是說不同時出現6的組合是35種，每一次擲骰子不同時出現6的概率是35/36。
那麼，連續投擲24次，從不同時出現兩個6的概率是：
(35/36)^24 = 0.508
最後得出，至少出現一次兩個骰子都是6的概率是：
1 - 0.509 = 0.491
這個數字告訴我們，第二種玩法的贏率偏向德·梅雷的對手，長期玩下去，德·梅雷一定會是輸多贏少。
想想如果我們不使用概率這種數學方法，單靠我們的大腦的粗略估計，我們可能弄清楚這其中微小的差別嗎？
顯然答案是否定的。
好了，第一節概率課到此結束，下課咯！
◇ 把概率用在生活中
雖然基礎概率的知識很簡單，但是古人云「知易行難」，學習概率的真正難點就像查理·芒格說的，是怎樣將它運用到每天的生活中去。
查理君想到的第一個方式是在打牌中學習概率。
不論是麻將，還是鬥地主等這些喜聞樂見的國粹遊戲，還是橋牌、德州撲克等這些高大上的國際牌類遊戲，都會用到概率知識。所以，你可以找本專業書籍，或者自己研究一下，將概率知識和你的牌技提高練習起來，會是一個很好的學習概率的方式。眾所周知，巴菲特就很愛橋牌，據說他每周都要打上幾個小時橋牌，說不定打橋牌也是巴菲特鞏固自己的概率思維方式的秘訣之一。
除了直接在打牌中運用概率知識，你還可以嘗試另外一種方法：統計自己的勝率。這種方式適用於任何帶有隨機性的遊戲之中，比如打遊戲，打籃球，打牌等等，在遊戲過程中，記住自己的贏的次數，再除以每次打牌的總盤數，得到的結果就是你的勝率。隨著你統計次數的增長，你會發現自己的勝率越來越接近一個常數，這個常數就是你打牌時候的贏的概率。
說到這裡，插播一條知識：這種勝率趨近概率的規律背後有一個定律，叫大數定律(Law of Large Numbers)。大數定律是說，在試驗不變的條件下，重複試驗多次，隨機事件的頻率近似於它的概率。比如在上面例子中，你統計的勝率就是「頻率」的一種。任何遊戲，只要這種遊戲受到概率影響，一時的輸贏可能是手氣或運氣的原因，但長期來看，真正決定你輸贏的是勝率。勝率可能會波動，但是隨著總次數的不斷增長，勝率就會越來越穩定，並趨近概率，這就是大數定律。
除了以上兩個方法，生活中還有很多可以運用概率知識的地方，下面是查理君列出來的一些例子供你參考：
公司年會抽獎的時候，算一算自己得一等獎的概率大概是多少？
計算一下雙色球中500萬的概率是多少，如果自己從現在起，堅持每次都買5注，一生的中獎概率是多少？(你會嚇一跳)
打籃球的時候自己的投籃命中率是多少？統計一下是不是圍繞一個常數在波動？
玩電子遊戲的時候研究自己和對手的勝率，看看是否能夠根據勝率來制定自己的策略？
…..
相信這個列表還可以更長，正如數學家拉普拉斯所言：「對於生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題。」
如果你在生活中有過運用概率的經驗，歡迎和查理君分享一下。
◇ 相信概率，別指望運氣
現在是揭開查理君撲克小遊戲謎底的時候了。
在這個小遊戲中，如果你選擇不換的話，玩99次之後，你能從查理君這裡拿走的還是大概33塊錢。但是如果你懂概率的話，你會做出更好的選擇 —— 堅決地換！因為這樣可以讓你贏的錢增長1倍，也就是說你會最終贏走大概66塊！
這種區別的根本原因在於：不選擇換牌贏的概率是33%，選擇換牌贏的概率是66%。
如果玩這個遊戲的人不懂概率，大部分人會選擇堅守不動，這種現象在心理學上叫錨定效應。錨定效應是說，人們在對某人某事做出判斷時，容易受到第一次選擇的支配，就像沉入海底的錨能夠固定住船隻一樣，人們也會偏向於將自己的思想固定在第一個選擇上。我們常說的「第一印象」和「先入為主」說的就是這種心理效應。
當然也有一部分人可能會選擇換牌，但是如果他們只是跟著感覺走，那還是在碰運氣。而真正懂得這其中真諦的，只有那些懂概率並且相信概率的人，一旦他們理解這背後的玄機，一定會理性地選擇換牌。
對於這個遊戲的概率計算，就留給各位當做家庭作業了。
(如果你算不出來這兩種選擇的概率的話，有一個簡單的辦法：找3張撲克來實驗一下，相信實驗的結果會讓你更加深刻地理解概率和運氣之間的區別。)
美國亞馬遜的創始人貝佐斯曾在一次演講中說：「聰明是一種天賦，善良是一種選擇。」 他說的後半句查理君很贊同，但前半句只能贊同一半 —— 對有的人來說，聰明是一種天賦，對大多數人來說，聰明更是一種選擇。
確實有些人天生就比別人更加聰明，比如電子計算機之父馮·諾依曼就被稱為普林斯頓的外星人，他的聰明程度一度讓某些諾貝爾獎得主也懷疑人生。但是這樣的人畢竟是少數，大部分人的智商都是位於平均線附近。而現實世界中的大多數競爭，也根本輪不到PK基因的地步，往往知識和經驗就能夠分出勝負。
幸運的是，知識和經驗是可以通過「選擇」學習來獲得:
你可以選擇每天練習英語口語，也可以選擇每天玩遊戲消磨時間；
你可以選擇讀書來增長知識，也可以選擇在繼續迷失在信息碎片中；
你可以選擇每天練習使用概率，也可以選擇繼續依賴運氣；
…..
也許人和人之間的差距，正是來源於這一次次不同的選擇。雖然一兩次看不出什麼改變，但是日積月累，概率開始起作用，運氣開始讓位。到最後，那些本來和你差不多的人，靠著只是比你高几個百分點的勝率，最終把你甩得很遠。
所以，從今天起，選擇相信概率，忘掉運氣吧。
◇ 結語
本文中，查理君的主要觀點和知識分享如下：
1) 概率論是理解真實世界的一個利器，每個人都應該掌握基本的概率知識；
2) 「大數定律」告訴我們偶然中有必然，重複次數越多，頻率越趨近概率；
3) 「錨定效應」告訴我們，人類有「先入為主」的心理傾向。
最後，讓我們重溫一下查理·芒格的名言：
「每天起床的時候，爭取變得比你以前更聰明一點點。」 ---- 查理·芒格
? 本文為公眾號「窮查理筆記」原創，轉載需獲得授權。
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