N個球面最多將3維空間分成多少個部分？

01-29

球的半徑可各不相同

$frac{n^3-3n^2+8n}{3}$

新加的球面被已有的N-1個球面分割，變成了2維空間被N-1個1維球面—也就是圓，分割的問題，於是遞歸可得。同理高維也可按照這個思路得到結果。

其他答案提到了2^N這個平凡上界的問題。總覺得對於d維空間，N&>d+1時就開始取不到2^N這個上界了？？我對著低維的結果瞎猜的...

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後來找到了這個

https://www.quora.com/How-many-parts-can-the-n-spheres-divide-a-space-into

裡面沒像我一樣偷懶，他把遞歸的結果寫出來了，把式子化成這樣，事情就變得顯然了。

空間為d維： $R_d(n)=inom{n-1}{d}+sum_{k=0}^{d}{inom{n}{k}}$ ，

鏈接里把遞推公式清楚的也寫了，公式的道理如我前面所述： $R_d(n)=R_d(n-1)+R_{d-1}(n-1)$

從式子來看這個事情是顯然的，和 $left( 1+1 ight)^n$ 對照係數即可。不過不知道從幾何直觀上怎麼去考慮這個事情，怎麼很好的理解N增加的時候，會受到d的限制？

等一隻大佬

。。。。。。初賽難度的組合題，由於本人不會用知乎打公式這裡就簡單說一下思路…………先求出平面上面的圓最多把平面分成幾部分（利用遞推來求比較方便），這個是比較容易求得因為圓與圓最多有兩個交點，前n個圓把新加進去的圓的弧分成2n份，每份弧又把原來的區域分成2份，這樣就可以列出遞推方程，就不說了。利用這裡的出來的結論，在三維空間N個球面中你加一個球面，這個球面最多能被那N個球面分成前面求的平面上面的圓把平面分成幾部分的份數，然而這些區域也把原來的區域分為二份，所以也可以列出遞推方程，解出來就可以了。

以前自學代數學的時候看到一個問題：給定圓周上任意n個點，確定由nC2條弦劃分的圓內的區域數Rn（假設任意三條線在圓內不相交）。和這樣的問題我覺得是換湯不換藥……

我記得這題西西群里以前說過，橢圓的情況好像還沒解決呢。

這個問題很依賴於曲率和凸性，首先我們知道，如果圖形的邊界的曲率沒有限制的話，那麼n個圖形分割空間可以達到2^n。

猜想1:對於所有邊界C1凸區域A，n個可以由A等距變換和scaling作用後得到的區域劃分k維空間的最大數目漸進於cn＾k

猜想2:k位空間中所有最大值情形都可以通過有限個k個集合的笛卡爾積的線性組合構造出來。

我提供一個可能證明這兩個猜想的框架。

證明框架：可以通過把整個模型映射到有限個點的模型來簡化問題。

step1：在k維空間中取若干個點，點集計為B。根據這些點對於所有圖形的從屬情況來判斷整個空間被劃分成了多少個區域。這一步我們希望把整個空間抽象成一個圖，一個區域將空間分塊實際上就是和這個圖的一些邊相交，然後產生新的點和邊，每一個點就是一塊，每一個邊就是兩塊區域相交的面，凸性就是用來控制每增加一個區域事會增加多少點和邊。

step2：在k維空間中一個圖像的邊界是k-1維圖像，我們證明每添加一個圖形，最多影響|B|^{/frac{k-1}{k}}個點(在大範圍內這個估計會有效，證明可能用到競爭對稱性)，這一步證明嚴格依賴於凸性以及曲率。（這一步需要利用Rn的拓撲，所以我們組合上把Rn看成(Zn)^{/infty}，可能還需要利用有限域或者多尺度分析）

step3：第二步我們把每一步過程離散化，通過bootstrp裡面每一步的最優分析，我們可以得到一些關於極大值情形點的位置分布的信息

remark：構造出劃分區域為(n/k) ＾k級別的栗子是簡單的，遞推得到的上界估計是n^k/k！。第二步可能用到的工具是multilinear estimate，brunn-minkwoski inequality。第三步可能要用到hardy-littereood-soblev inequality可以用來做大範圍內的估計，而critical point周圍的情形，尤其是鞍點附近不知道怎麼處理。另外還會需要一個穩定性結果。