Kenneth J.Arrow的學術成就（二）：一般均衡理論

這是本專欄的第 34 篇日記

本文譯自博客A Fine Theorem。

原文鏈接：

Kenneth Arrow Part II: The Theory of General Equilibrium

根據作者原文所述，本系列共有四篇，然而作者目前只發了前兩篇……

所以先譯發出來的這兩篇，等後面的發了會補上。

以下是譯文：

Kenneth Arrow的學術研究——第二部分：一般均衡理論

本系列的第一篇文章泛泛地介紹了Arrow的工作，並特別關注了其在社會選擇理論方面的成果。在這篇文章中，我們將討論他最著名的成就：一般均衡理論(1954, Econometrica)。我希望讀者能夠諒解下文中的一些錯漏並多加包涵：即使在今天，一般均衡理論的歷史仍是思想史研究者們常常討論的話題，對於這個理論及其歷史的解讀也是頗多爭議。

對於以Arrow的工作為代表的一般均衡理論的相關文獻，我的理解是這樣的：首先，一般均衡理論令人難以置信地證明了，從理論上來說，在特定場合下，市場可以像一個全知全能的社會規劃者一樣有效率地進行分配。在此之外，自Walras時代以來對於一般均衡理論的另外三項期許則均被Arrow及後來者的工作所否定了：市場力量不一定引導我們達成社會最優均衡價格；由基本的序數效用最大化所推導的瓦爾拉斯(Walrasian)需求函數（譯註：即馬歇爾(Marshallian)需求函數，或非補償需求函數）無法得到實證支持；除非在效用最大化之外添加新的假設，否則我們無法對一般均衡中的經濟量進行嚴格的比較靜態分析。從我對Walras和其他早期一般均衡理論研究者的理解來看，這三個結果是著實出乎他們意料的。

讓我們從頭開始。從Adam Smith和他的「看不見的手」開始，經濟學家們就有這樣一個想法：通過價格體系，個人的行動可以增進甚至最大化整個社會的經濟福利（說句題外話，Smith自己對於「看不見的手」這一隱喻的使用其實是被誇大了，包括William Grampp在內的許多學者都提供了令人信服的論述）。那些貶低現代經濟學的人——新馬克思主義者(neo-Marxist)、不起眼的蹩腳文人、總想反對權威的半吊子——認為Arrow的工作和用一般均衡理論來「證明市場有效」的想法是一派胡言。但早在Arrow之前我們就知道，市場上存在外部性，而且收入的分布取決於稟賦的分布。但Arrow感興趣的不僅是檢驗「看不見的手」這一論斷是否成立，還有它是否可能在某些條件下成立。也就是說，如果我們想要聲稱，市場組織經濟活動的效率是獨一無二的，我們應該先規範地證明市場能夠有效率地組織經濟活動，並確切地了解在怎樣的條件下它又無法做到這一點。那我們應該怎麼做呢？先找出在怎樣的條件下存在一個價格向量使市場出清，再證明此時的分配結果滿足某些合意的福利標準，最後準確地指出各個條件對於達成這樣的分配結果為什麼是必要的。

問題在於，要證明這樣的價格存在是很困難的。「一般均衡」這一術語在經濟學中曾經有過許多含義，而如今，它通常是作為「相對於局部均衡」而言的，這意味著我們考量的是當經濟體中所有參與者都能根據經濟體的變化進行調整時的經濟效應。例如，進行小規模的發放一筆固定收入的隨機實驗，最直接的影響是使得收到這筆錢的人收入增加；但是如果將這一政策推廣到整個勞動力市場時，其對於一般均衡的影響將會是難以估計的。然而，在整個19世紀直到20世紀初，這個術語代表得更多是經濟體作為一個自我調節系統的想法。Arrow在他1966年的這篇詳盡的文章中寫得非常好：一般均衡既「簡明地指出了經濟體的確定性，即描述經濟系統的各種關係必須組成一個足夠完整的系統以確定其中各變數的取值……更具體地，這些關係代表了各種力量的平衡。「

如果你是一個古典主義者，比如說Adam Smith、Karl Marx或者David Ricardo，如何在市場中定價的問題很容易解決：忽略需求即可。價格是由成本，和零利潤——也就是自由進出市場——的條件所決定的。直到現在，對於某些市場，我們仍然或多或少地會這麼想。當自由進出市場和每個公司都以相同的最小有效規模進行生產這兩個條件都滿足時，價格將完全由供應決定，只有數量是由需求決定的。只需要勞動這一個生產要素再加上馬爾薩斯(Malthusian)條件充當自由進出市場的條件，或是像李嘉圖(Ricardian)系統那樣有勞動和土地兩個生產要素，就能夠良好地定義出經典的價值模型。如何處理資本和差異化的勞動的問題，總是被假設不存在或者是被隨意地處理了；Samuelson就有許多篇論文表達了他對Marx將資本視為「物化勞動」的處理方式的憤怒。

法國數理經濟學家Leon Walras最終通過引入需求和「價格接受者」解決了這一難題。在經濟體中，家庭進行生產和消費。在均衡下，每個市場都必須達到供需平衡，因此均衡價格就是供需曲線上邊際值相等時的取值。Walras（非正式地）提出了一種著名的方法來得出均衡價格：迭代出價。首先由拍賣人給出一個價格向量：這個價格會使得一些市場上有過剩的需求，而另一些市場上有過剩的供給。然後，逐一調整價格。當然，每次價格變化都會影響其他市場的超額需求或超額供給，但你可以猜想，如果能恰到好處地調整價格，價格最終將會「收斂」。對於19世紀70年代的經濟學來說，這還不賴——所以Schumpeter在他的《經濟分析史》中稱之為經濟理論的「大憲章」不是沒有原因的。但Walras犯了兩個錯誤：首先，所有市場同時出清的均衡的存在性後來被發現等價於Poincare《位相分析》中的一個問題，這大大超出了19世紀的數學所能解決的範圍；其次，迭代出價過程能夠收斂所需的條件同樣是一個如惡魔般的難題。

均衡存在性的問題很容易理解。考慮最簡單的情況，市場上有j個商品，可以由k個生產要素的線性組合進行生產。需求等於供給意味著Aq=e，其中q是每個商品的產量，e是每個生產要素的稟賦，A是投入-產出矩陣，表示如何組合生產要素k來製造商品j。此外，每個市場中的零利潤條件意味著Ap(k)=p(j)，其中p(k)是生產要素價格而p(j)是商品價格。即使在這樣一個簡單的、一切都是線性的系統中，想要確保價格和數量均非負都不是顯然的。直到20世紀30年代中期，Abraham Wald——他後來成為Arrow在哥倫比亞大學的教授，而且和Arrow一樣是羅馬尼亞人，這樣的關係讓人很難相信完全是個巧合！——給出了在這樣一個簡單系統中一般均衡的存在性所需的規範條件，但Wald的證明需要在總需求上添加一些不太現實的要求，因而仍是大大地簡化了問題的。

像Wald這樣接受過維也納學派傳統訓練的數學家，對當時經濟學中所使用的數學推導的水平感到十分驚詫。Oskar Morgenstern在1941年給《價值與資本》一書所寫的評論毫不留情地批評了John Hicks這位偉大的經濟學家，特別是其中Hicks毫無根據地（就像Walras那樣！）斷言，只要未知數和方程的數量一樣多就足夠證明一般均衡系統解的存在性（這在非線性系統中顯然是不成立的，比如這裡提供的兩個方程和兩個未知數的例子）。von Neumann曾經就Hicks和他的學派對Oskar這樣說過（見第85頁）：「如果這些書在地底下埋了一百年後再出土，人們不會相信它們是在我們這個時代所寫的。他們恐怕會覺得這些書大概是與牛頓同時代的人所著，因為這裡面的數學實在太淺陋了。「即便如此，與同時代的經濟學家相比，Hicks所使用的數學技術已經算得上相當先進了，也因此他才能將凱恩斯(Keynesian)主義宏觀經濟學與微觀經濟學中的無差異曲線和需求分析結合起來。 Arrow和Hahn甚至將他們最初對一般均衡問題產生興趣的原因歸功於在讀Hicks的書時的偶然所得。

無論如何，在Walras之後，數學方法開始發展起來，那些在數學前沿接受過訓練的人終於擁有了能夠嚴格地解決Walras問題的工具。令D(p)是給定價格p時所有商品的需求向量，e則是每個商品的初始稟賦，這樣一來我們只需要在每個市場中要求D(p)=e或D(p)-e=0即可。我們可以進一步引入具有某些形式的生產函數的中間商品和要素商品，這樣的經濟體會更複雜一些，但是基本問題是相同的：是否存在並能找出一個向量p使得這個非線性方程等於零。這裡涉及到有關尋找固定點的數學知識，而Brouwer早在1912年就給出了一個優雅的定理：任何將緊凸子集映到其本身的連續函數都存在固定點。von Neumann在20世紀30年代用這個定理證明了一個與Wald的工作類似的結果。受von Neumann的啟發，一個名為Shizuo Kakutani的數學家將Brouwer的結果擴展到將點映射到集合的對應(correspondence)上，John Nash在1950年又利用這個結論給出了非合作博弈混合策略均衡存在性的一個簡潔證明。數學的發展已經足夠了：我們手頭的工具已經讓我們可以規範地描述在什麼樣的條件下，非平凡、非線性的供給需求系統中存在不動點，也就是存在使得市場出清的價格。進一步地，我們的技術也足以應對「邊角解」，也就是在某些價格下對特定商品的需求為0的情況，這在現實中是很常見的：線性規劃和互補鬆弛性的想法，以及更深入的用於解決對偶問題的凸集理論，給Arrow以及他同時代的人提供了他們所將需要的數學手段。

我們現在來到了20世紀50年代初，數學家們已經找到了證明任意對應存在固定點所必需的數學條件。Hicks在《價值和資本》一書中讓Arrow意識到，將未來與今天相關聯是很容易的：只需給每件商品上加上日期索引來擴大商品空間。進而，讓商品和狀態相關聯也就很容易了：除了日期之外，再給每件商品上添加狀態的索引即可。因此，我們不僅需要「蘋果」沒有超額需求，也需要「在1955年5月交付的蘋果」沒有超額需求，而且需要「如果Eisenhower沒能連任則在1955年5月交付的蘋果」沒有超額需求。這看起來好像很複雜，但是不要緊：在這個擴大的商品空間中，固定點存在的條件是相同的。

有了這些數學工具之後，Arrow和Debreu終於能夠給出他們的證明了。他們首先定義了一個一般化的n人博弈，其中每個玩家的可行行動集合取決於其他所有玩家的行動；不妨把可行行動集合想像為「給定價格和我獲得的稟賦中的商品，我能負擔哪些商品組合？」每一個行動都是一個n元組，其中n是玩家可以購買的、以日期和狀態為索引的商品的種類數。 Debreu在(1952, PNAS)中證明，只要每個收益函數隨著其他玩家的行動連續變化，可行行動集合是凸集而且也隨著其他玩家的行動連續變化，並且對於每個給定的行動，能夠進一步提高玩家收益的行動集合也是凸集，那麼這個一般化的博弈就存在均衡。 Arrow和Debreu隨後證明，通常對於個體需求的假設就足以達成Debreu這一篇文章中所要求的條件。這種方法與McKenzie或其他早期一般均衡理論家的想法有很大不同：超額需求函數不再是基本出發點，而是可以被推導出來的。Duffie和Sonnenschein(1989, JEL)指出，這種區別使得Arrow-Debreu的證明能夠給出許多重要的經濟學直覺。例如，使用這種方法，即使想要證明帶稅收的Arrow-Debreu均衡存在也是非常容易的，但是從超額需求函數開始的方法就遠非如此了。

這已經算是一個不小的成就了：Arrow和Debreu已經證明，存在一個價格向量同時出清所有市場。後來的理論研究者們指出，他們的證明較少地依賴於偏好和生產集的凸性，而更多地利用了每個個體相對於市場都是「很小的」這一事實（凸性是用來得出Debreu博弈中的連續性，而把每個消費者個體當作市場中無窮小的一份子，然後進行隨機分配加以平滑，就能得到同樣良好的性質；Duffie和Sonnenschein的論文就提供了一個例子）。20世紀50年代中期是新古典綜合主義的全盛時期：我們當然希望能夠回答這樣的問題，比如當有負面的需求衝擊時，經濟體怎樣才能最好地重新達到帕累托(Pareto)最優均衡？由於粘性價格或其它摩擦導致的不同調整速度，又將會如何影響重歸最優均衡的快慢？這類問題隱含地假定了均衡是唯一的（至少在局部上），以便我們實際上可以「返回」我們在衝擊到來之前的處境。當然，我們知道Arrow-Debreu的證明所需的一些假設是不切實際的——例如生產中沒有固定成本——但我們至少想要先弄清楚如何在「簡化」的情況下調控經濟，然後再去考慮如何處理這些假設的問題。

但事與願違：Uzawa(1960, REStud)證明，我們不僅可以使用Brouwer定理來證明一般均衡的存在，反之亦然：一般均衡的存在性在邏輯上等同於Brouwer定理。這樣的結果肯定使人擔心，在一般均衡中，價格到底會有多大的影響。20世紀70年代給我們帶來了Sonnenschein-Mantel-Debreu的「一切皆有可能」定理：由於財富效應（當相對價格變化時，個體稟賦的價值也發生變化），總過剩需求函數並不繼承個體過剩需求函數的所有屬性 。對於滿足某些微小限制的任意總過剩需求函數，總存在一個經濟體，其中的個體偏好能夠生成這一總過剩需求函數；特別地，對總過剩需求函數所施加的限制比對從個體偏好最大化所推導的個體過剩需求所施加的限制要更少。這告訴我們很重要的一點：沒有理由要求經濟體中均衡是唯一的。

均衡的多重性是一個問題：如果一般均衡理論的目標是能夠從「口味」和「技術」這樣的基本假設出發，計算出「準確的」市場出清價格，然後檢驗這些價格如何變化（「比較靜態分析」），那麼均衡的多重性說明，我們基本上不再能夠進行全局的比較靜態分析，而只能進行局部的比較靜態分析，因為環境的巨大變化可能導致經濟體跳躍到一個不同的平衡（幸運的是， Debreu(1970, Econometrica)至少證明了，均衡的數量一般來說是有限的，所以我們至少可以做一些在很小的衝擊下的局部比較靜態分析）。當然，如果沒有一個均衡選擇機制，這樣的分析是很困難的，然而即使到了今天，我們也依然沒有這樣的機制。有人會認為這沒什麼大不了的：同樣的「技術」和「口味」當然可以產生許多不同的均衡，就像我們既有車輛都靠左行駛的均衡也有都靠右行駛的均衡；此外，所有的Arrow-Debreu均衡確實都是帕累托(Pareto)最優的。但和20世紀30年代開始尋求現代一般均衡理論時曾經希望的結果相比，這還遠遠不夠。

更糟糕的是穩定性，這是由Arrow和他的合作者(1958, Econmetrica; 1959, Econmetrica)發現的。即使我們有一個唯一的均衡，Herbert Scarf(1960, IER)通過許多簡單的例子表明，Walras的「迭代出價」方法將會陷入永不收斂的循環。儘管在20世紀60年代和70年代經濟學家們付出了大量智力上的努力，但直到現在我們仍沒有一個合適的價格調整模型。我甚至認為我們永遠不可能得出這樣的理論：正如許多理論家指出的，如果我們處於價格調整期而不是均衡狀態，那麼零利潤條件無法適用，這樣一來，為什麼只能有「一個「價格，而不是十個或者一百個甚至一千個呢？

多重性和不穩定性對比較靜態分析造成的問題應該已經說得很清楚了，但我們還應該注意到，它們對於福利分析同樣造成了許多問題。考慮第二福利定理：在Arrow-Debreu系統中，對於每個帕累托(Pareto)最優分配，都存在一種資源的初始稟賦，使得在均衡中能夠達成該分配。這可以說是市場經濟的好處最重要的論據：只要我們重新分配稟賦，自由交易可以讓我們達成任何帕累托(Pareto)最優分配，也就是說，無論面對怎樣的社會福利函數，我們都能達到任何合理的社會最優情況。那麼這個論據有多有效呢？令x*表示使社會福利函數最大化的分配，e*表示使得x*為均衡分配的初始稟賦——根據Arrow-Debreu的證明，這樣的稟賦一定存在。那麼，讓個體擁有e*，能保證我們達成社會福利的最大化嗎？不一定：x*可能不是唯一的。即使它是唯一的，我們一定能達成這分配嗎？也不一定：如果它不是一個穩定的均衡，那麼我們的價格調整過程能否實現它仍然需要依靠運氣。

讓我們總結一下：在19世紀70年代，Walras向我們表明，當個體是價格接受者時，從需求和供應中就能夠得出對經濟體極為有用的見解。既然需求在經濟體中起作用，一個市場的需求變化也會影響其他市場。如果蘋果的價格上漲，對梨的需求將上升，梨的價格也將上漲，進一步地又影響到蘋果的市場。到20世紀30年代，基於帶約束的偏好最大化，出現了一種良好的描述個人選擇的模型。給定價格，個體需求就具有明確定義的形式，而經濟體中的超額需求可以通過簡單的加總得出。我們接著就想知道：是否存在一個使市場出清的價格？Arrow和Debreu證明了這是存在的，而且我們不需要對個人需求有什麼奇怪的假設。如長久以來所知，這些均衡價格總是給出帕累托(Pareto)最優分配；反過來，對於任意帕累托(Pareto)最優分配，也總存在一種相應的稟賦，使得均衡時能夠達成該分配。這是一個優雅而重要的結果，是將「看不見的手」這一直覺規範化所取得的勝利。

但也是在這裡，我們進入了一個死胡同。單獨的個人偏好不足以確定我們將處於哪個均衡，均衡也不都是穩定的，更不一定能夠通過經濟學上合理的調整過程所達成。想要對總體的經濟結果給出任何有意義的論述，或者進行適度衝擊下的比較靜態分析，或者討論技術變化如何改變價格，我們都必須做出遠不止個人理性和利潤最大化的假設。在我看來，這對本世紀中葉，甚至是今天的許多經濟學家來說，無疑是非常令人震驚的。我不認為這意味著「一般均衡理論已死」，或者在該領域的數學探索是在浪費精力。起碼，我們在市場哪怕是在原則上達成社會最優所需的準確條件這個問題上學到了許多，更不用說這些數學教育對於Arrow後來在衛生保健、創新和環境經濟學中的工作起到了關鍵作用，我將在接下來的兩篇文章中對此加以討論（譯註：然而到今天作者還是沒有發新博客……）。我們也無需因為唯一性或是穩定性的問題就拋棄一般均衡分析，就像我們不會因為同樣的問題拋棄博弈論一樣。但它確實意味著，個體理性不再是經濟分析的唯一範式：在數學上已經證明了，只有個體理性這一假設，而沒有唯一的均衡以及一種良好定義的達成均衡的途徑（比如博弈論中的學習過程，或者一般均衡理論中的迭代出價過程，等等類似的東西），我們無法對經濟總體表現或是博弈結果給出任何結論。Arrow本人(1986, J. Business)也承認：「在總體層面，個體理性的假設一般而言無法給出任何結論。」但這對經濟學家與其說是一種負擔，毋寧說是一次機會，我們也仍在等待下一個能夠像Arrow一樣指引我們繼續前行的偉人。

一些關於文獻的註腳：對於那些對一般均衡的理論發展感興趣的讀者，我推薦Roy Weintraub的《一般均衡分析》一書，作者是一位目前專攻思想史的改革理論家。 Wade Hands有一篇很好的文章回顧了新古典綜合主義以及凱恩斯(Keynesian)主義和一般均衡分析是如何相互關聯的。關於McKenzie對與Arrow和Debreu並列發現權的爭奪，以及Debreu如何採用一些或許不光彩的手段使得Arrow和Debreu的論文率先發表，參見Weintraub和Duppe的《尋找均衡》一書； Debreu和McKenzie兩人都有不少黑歷史。 研究Debreu的學者Till Duppe在JHET上還發表過一篇不錯的論文，介紹了Arrow和Debreu是如何開始合作的，以及他們對著名的1954年論文分別作出了怎樣的貢獻。

（Photo Credit: Columbia | SIPA, Book Launch for the The Kenneth J. Arrow Lecture Series）