假設檢驗之二：假設檢驗的基本原理

看了前面的介紹，估計大家對假設檢驗的概念已經有了大致的理解，本篇重點介紹一下假設檢驗的兩個重要的理論基礎。

如馬逢時老師書中介紹的，假設檢驗的分析方法包含兩條基本的原理：帶概率性質的反證法原理和小概率事件原理。

帶概率性質的反證法原理

反證法(Proof by Contradiction)，又稱為歸謬法、背理法。在證明數學問題時，先假定命題結論的反面成立，在這個前提下，若推出的結果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而證明命題結論的反面不可能成立，由此斷定命題的結論成立。

反證法證明命題的一般步驟如下：

1.假設結論的反面成立，即反設；

2.由這個假設出發，經過正確的推理導出矛盾，即歸謬；

3.由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題結論正確，即結論。

這三個步驟中，歸謬是最重要的，常見的歸謬包括這三類：與已知條件矛盾；與已知的公理、定理、定義矛盾；自相矛盾。

在數學中，是無理數就是用反證法證明的。證明過程如下：

第一步，反設：如果是有理數，則必有

其中p,q是互質的正整數。

第二步，歸謬：兩邊平方，則有

則p為偶數，設p=2r，則有

則q也是偶數，這與p、q互質矛盾。

第三步，結論：因此假設不成立，是無理數。

反證法是數學中常用的方法，德國數學家希爾伯特就說：「禁止數學家使用反證法，就像禁止拳擊手使用拳頭。」

假設檢驗所使用的反證法與此最大的不同點是帶有概率，即用概率來判斷命題是否成立。費歇爾老先生在提出顯著性水平檢驗時，先假設總體的參數，這就是原假設(Null Hypothesis)，如小麥的植株高度往年統計的均值為90cm。今年要對種植結果進行驗證，在驗證之前假設總體均值仍然是90cm，然後抽樣檢驗。如果今年的小麥植株高度還是90cm，那麼樣本的均值應該與90cm差不多，如果差得很遠，比如105cm，或者只有70cm，抽樣結果就顯得很不合理，因此就可以推翻原假設，即今年的小麥植株高度不是90cm。但是這種判斷是存在出錯可能的，因為即使今年的植株高度還是90cm，但植株高度是服從某種分布的，有可能會抽出大於105cm或小於70cm的樣本的，雖然這個概率很小。因此在費老先生所提出的顯著性水平檢驗中，所運用的反證法是帶有概率的，也就是說對於抽樣結果的判斷是有出錯的可能性的。

注意費歇爾並沒有告訴你拒絕原假設後你應該接受什麼，而奈曼-皮爾遜則在此基礎上給出了第二個假設，即備擇假設(Alternative Hypothesis)。這個假設是與原假設相對立的，在拒絕原假設的同時可以接受備擇假設。

讓我們用一個古老的例子來理解一下反證法在假設檢驗中的應用。

王戎七歲，嘗與諸小兒游，看道邊李子樹多子折枝，諸兒競走取之，唯戎不動。人問之，答說曰：「樹在道邊而多子，此必苦李。」取之信然。

——南朝·宋·劉義慶《世說新語·雅量》

這個王戎，就是大名鼎鼎的竹林七賢之一，就像人們常認為的那樣，成功的人總是能發現其在幼小時所展示出的過人之處。王戎和他的小夥伴們都是利用了反證法，但其假設卻相反。王戎的原假設是李子苦，而小夥伴們假設李子甜。王戎先反向假設李子是甜的，然後推理出李樹在路邊但卻有很多的果子與常理不符，因此李子是苦的。而小夥伴們則是嘗了以後發現李子是苦的，從而推翻原假設。兩方的判斷都有判斷錯誤的可能，王戎可能出錯的地方是那些李子確實是甜的，但那時的人都道德高尚，不吃嗟來之食；小夥伴們出錯之處可能是恰巧摘了一顆苦李，而其它的李子都是甜的。因此這個故事也屬於運用了帶有概率的反證法。

運用反證法進行假設檢驗有一個重要的特徵，即拒絕是有說服力的，這種說服力來自於上述的抽樣結果不合理。如果結果不合理，則說明有足夠的證據說明原假設是錯誤的，可以拒絕原假設，而接受備擇假設；如果看不到明顯的不合理，則表明沒有足夠的證據證明原假設是錯誤的，但也不能說原假設就一定成立，因為沒有能夠證明原假設成立的證據。因此費歇爾說：永遠不要說接受原假設。

小概率事件原理

如何判斷抽樣結果是不是不合理呢？費歇爾老先生提出了p值這個概念，用來表示在原假設成立的條件下，抽樣結果的不合理和更不合理的概率。他還給出了一個判決點，即0.05，費歇爾p值小於1/20就足以拒絕原假設了。

0.05是足夠小的概率，一般認為，在一次抽樣(試驗)中，小概率事件幾乎不可能發生，如果出現發生了，則說明事先的假設是錯誤的。但小概率事件並不是一定不會發生，當抽樣次數足夠多時，小概率事件是一定會發生的。這說明即使是一次抽樣，小概率事件仍有可能發生，也就是說存在判斷錯誤的可能性。

在標準的假設檢驗中，對判錯的概率進行了定義，這就是α和β風險，後面詳細介紹。

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