Mobius函數的隨機性和動力系統1
1.
我們熟知數論裡面有個函數叫做Mobius函數:
定義如下:
學過初等數論的同學一定知道,關於這個函數有一個叫做Mobius反轉公式的東西:
如果,那麼
.
這件事情基本上是說 是常值函數1在積分變換
下的像,而且再做一次積分變換又變成常值函數1.
2.
1906年,Landou發現這個函數蘊含了很大的隨機性,有下面這件事情:
as
.
並且證明了這等價於素數定理: as
.
計算機計算結果和一些數學推演誘導人們猜想更精確的結果:
而這等價於RH.
但是另一方面,在足夠小的尺度下,不是那麼具有隨機性,
比如令,考察函數
.原因是因為zeta函數零點的分布。
我們主要的問題是考察什麼樣的函數會使得:
.
更簡單的問題是:考察什麼樣的bounded的會使得
兩個比較簡單的滿足條件的例子是:
1.為常值函數,這時
將等價於素數定理。
2.為周期函數,這時
將等價於Delichlet定理。
3.
有一種Philosophy是說,對於計算複雜度足夠低的函數,
會成立。
特別的,一些人猜想:如果每一項
都是
級別的複雜度,其中
, 那麼
成立。
當然連這個重要的數論函數本身是不是多項式級別的複雜度都是open的。
事實上我們知道,所以
這件事情不對。那麼如果關於複雜度這個猜想成立的話,
的複雜度不會是多項式級別的。
然而,不難給出多項式級別複雜度的使得
不成立,或者收斂的特別慢,因此一些人覺得計算複雜度不是最好的刻畫Mobius函數複雜度的方式。
下面我們把這件事情稱為
和
正交。
4.
對於積性函數,i.e.
,
.
Wirsing證明了:如果,而且
為積性函數,那麼
與
正交等價於
發散.
5.最基礎的結果是
將等價於素數定理。
我們簡單說一下這個事情:
首先弱化版素數定理是存在正常數使得:
.
標準版是:
.這個會等價於:
.
Mobius函數的部分和估計有兩個:
.
.
首先簡單的abel求和公式是:
由這個求和公式我們不難推出:
.等價於
.
另一方面我們有恆等式:
.
那麼由mobius反轉公式:
.
那麼我們對求和再交換右邊求和順序得:
.
右邊我們用兩個估計來處理:.
以及:.
那麼右邊能被控制住,所以我們得到:
.
故:.
要證明.
我們注意到:,對
求和,交換求和指標得:
.
兩邊除以x,用分段求和的方法和abel求和公式估計最後一段即可~
要點是最後一段在每次跳躍之後是單調的以及每一項有上界控制,而且只需要取足夠小次跳躍,之後的可以用平凡的估計處理。
這樣我們證明了:
素數定理:.這個會等價於:
.
可以推出:
.以及
.
至於反方向的等價也是類似的,需要dirichlet的雙曲函數整點估計。
6.sarnak猜想
M?bius函數與零熵的流
生成的序列是"linearly disjoint"的.
即.
7.chowla猜想
chowla猜想蘊含sarnark猜想:
這個證明是純粹組合的。
chowla猜想帶給我們的好處是我們是需要處理關於mobius函數本身的性質,而sarnak猜想要求我們分析
和某些零熵序列之間的關係。這是處理同一個問題的兩個不同角度。
參考文獻:
【1】Diamond, Harold G. [Diamond, Harold George]
Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers.nBull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), no. 3, 553–589.
【2】The Chowla conjecture and the Sarnak conjecture.
【3】知乎專欄
【4】Three Lectures on the Mobius FunctionnRandomness and Dynamics ,Peter Sarnak
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