前饋形式的震蕩控制器（上）

在控制指令下達之後，震蕩現象往往是個令人頭疼的問題，超調可能會帶來物理系統損害，從振動形式達到穩態時間需要很長時間等問題。在有些應用之中，比如說在微機電裡面，甚至會達到100%（因為其阻尼主要來自空氣阻力，而其體積又非常小，在真空中其品質因數可輕鬆達到1000以上，對應的阻尼係數在0.001這個數量級）。如下圖所示的一個微機電執行器的階躍響應：

從控制的角度來講，這是我們不希望看到的。該怎麼減小震蕩的問題？我在上一篇文章

系統零點與震蕩裡面提到過反饋系統裡面抵消震蕩的原理，我這次想聊一下前饋法，英文裡面一般叫feedforward compensator，也有叫input shaper的，也有搞信號的就叫它是一個filter，anyway。前饋法的優點是什麼？便宜，不用買感測器；不會帶來穩定性問題。

如果對於一個線性度很好的穩定的震蕩系統，前饋法抵消應該是個很容易的事情：引入一對前饋的零點（notch filter），把震蕩的極點對給抵消了不就好了么。問題是，這個零點對怎麼實現？純微分都不好實現，那一對共軛的零點麻煩就會更大。其實有個經典的前饋控制器叫做posicast controller：

(1)

它的控制框圖也很簡單：

圖片來自文獻[1]。

其中的和是非常直觀的，對於工程師們是非常容易理解和實現的，如下圖的例子，前者是超調量，後者是超調時間：

在根軌跡上來看一下發生了什麼：

圖片來自文獻2，我就不手繪了。公式（1）其實是有個無窮零點的系統，而它的第一對零點就用來抵消掉那個不希望有的震蕩極點對。它比notch好的地方在於，它的高頻增益是很低的，而不像notch那樣過了陷波之後就會一路走高，看它自己的不加log scale頻域圖的一個例子：

可見它的幅值增益是不會超過1的。即對於高頻的前饋雜訊不敏感。再看一個在頻域下抵消了震蕩極點之後的圖：

看紅線明顯可得知震蕩極點對被抵消了。

這個方法對於線性度好的穩定系統相當有效，但是如果這個極點對和零點對不匹配呢？答案是魯棒性比較差，即使有著比較小的不匹配，效果也會大打折扣：

前饋法是否就山窮水盡了？並不是。下一次我會給大家介紹一下robustness更好一些的前饋控制器。

前饋形式的震蕩控制器（下）

[1] Hung, John Y. "Feedback control with Posicast." IEEE Transactions on industrial electronics 50.1 (2003): 94-99.

[2] Singh, Tarunraj, and S. R. Vadali. "Robust time-delay control." Journal of dynamic systems, measurement, and control 115.2A (1993): 303-306
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