均勻設計篇之三：均勻設計數據分析

均勻設計不需要專用的分析工具，其採用的回歸分析方法在很多流行的統計分析軟體中都有。均勻設計學會曾編寫了一個均勻設計軟體，但這幾年沒有更新版本，其3.0版已經不能在win7以上的操作系統中安裝了。浙江大學出品的DPS數據處理系統中有均勻設計。

　　在六西格瑪中，我們學的比較多的是線性回歸，但實際工作中常常會遇到非線性的情況，這時就需要考慮非線性回歸。均勻設計比較多地採用二次多元回歸來分析數據，其中包含既因子的線性項，也包含因子的二次項和因子間的交互項。通常交互項只考慮二階交互，三節及以上的交互項在實際工作中非常難以掌握，通常不考慮，當然有些特殊情況下也會考慮更高階的交互，我們在學習試驗設計的時候也是這麼約定的。

　　基於以上考慮，二階多元回歸方程可以表示如下：

其中為回歸係數，ε為隨機誤差。我們看到，這時除了常數項以外，方程有m(m+3)/2項，當m=1,2,… 時項數為

若使回歸係數的估計有可能，必要條件為n>1+m(m+3)/2。當m較大時，通常不能滿足這個必要條件。於是有必要從方程中選擇貢獻顯著的項，刪除不重要的項。有時，實際問題需要考慮高階的交互作用，如等，這時篩選變數的任務就更為重要。在回歸分析中，有許多有效的篩選變數的技術，如前進法、後退法、逐步回歸法、最佳子集法，在分析時都可以考慮採用。

下面是從方開泰先生的書中摘取的例子，嘗試用軟體來回歸一下，看看能不能得到相同的結果。

例：重金屬對老鼠壽命的影響

這是香港浸會大學生物系的一個試驗。

為了研究環境污染對人體的危害，今考核六種金屬的含量:鎘(Cd)，銅(Cu)，鋅(Zn)，鎳(Ni)，鉻(Cr)，鉛(Pb)，每種金屬含量分別取了17個水平(單位：百萬分之一，ppm)：0.01,0.05,0.1,0.2,0.4,0.8,1,2,4,5,8,10,12,14,16,18,20。欲考慮這些金屬含量(包括它們的交互作用)對老鼠壽命的影響，該試驗考核老鼠身上某種細胞的死亡率。它們選用表，根據使用表的指示，它們選用了表中1，4，6，10，14，15列來安排六個因子，其試驗方案如表1所示。試驗的結果為死亡率。為了了解試驗誤差，提高結論的精度，他們在同一試驗條件下將試驗重複三次，三次結果()列於表2，三次死亡率的均值為，列於表2的最後一列.我們看到第17號試驗的死亡率為最高，因為這時六種金屬都是最高含量，表明這些金屬對老鼠細胞確有致命作用。

現進一步用回歸分析來分析數據.由於每種金屬的含量由0.01(ppm)變到20(ppm)，最大值與最小值相差2000倍，於是直接用各因子的水平值作回歸不易獲得好的結果，通常要對水平值先作變換，用變換後的數據進行回歸。最常見的變換是取對數。於是回歸分析中的自變數成為logCd, logCu, logZn, logNi, logCr和logPb.根據以往經驗，知道六種金屬間有交互作用，故應選用二次型回歸模型，並用逐步回歸來篩選變數。用同樣的和，對和分別進行逐步回歸，發現四組數據的結果非常吻合，表明試驗誤差不大，該試驗可以獲得可靠結論。對的回歸方程如下：

由方程我們可以給出如下結論：a)Cd，Cu 和Ni含量過高，對老鼠細胞的死亡率有顯著作用，b)金屬Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu，Cu和Pb對死亡率起正交互作用，而Cd和Cu對死亡率起負交互作用，c)Zn可能會中和其它金屬的破壞作用，降低老鼠細胞的死亡率，有興趣的讀者可以作更為詳盡的分析。

根據例子中的數據，我嘗試進行了多次擬合。按因子不變換、以10為底的對數變換、自然對數變換三種，因子採用一次項、二次項和所有的二階交互項，加上常數項共28項。需要估計的參數遠遠超過了試驗次數(17次)，因此最佳子集法和後退法不能用，最後選擇逐步法做回歸。對三次分析的結果分別為：

未變換：(12項顯著)

以10為底的對數變換：(15項中除最後一項p值為0.106略大以外，其它均顯著)

自然對數變換：(除係數不同外，顯著項及p值均與上一個相同)

用書上的結果進行擬合：(係數基本相同，但殘差比上面的擬合要差一些)

從上面的分析對比來看，我嘗試的回歸與書上的結果有比較大的差異，當然我無法判斷誰的更好一些。由此我又注意到這個實驗是做了51次，即仿行了3次，於是我想到把三次的結果合到一起做一次分析。結果是這樣的：

這次的結果與我前面的結果有所不同，少了Cr和Pb的平方項，還有一個交互項不同，其它有12個顯著項相同，但與書上的結論還是有比較大的差異。

當然還可以做很多嘗試，比如多重共線性的問題，限於篇幅，這裡不再展開。這裡只是針對數據進行分析得出的結果，只有模型是否恰當，還需要專業的知識來判斷，不排除做進一步的驗證試驗。

最後總結幾點我對回歸分析的認識：

1)回歸分析的結果不是唯一的，不存在對錯，當然可以在一定程度上比較好壞，因此最終選擇哪個模型取決於人在專業上的判斷。

2)回歸分析的結論不能違背常識和專業知識，比如肺癌明明與抽煙正相關，但回歸模型的係數卻是負的，這就與專業知識不符了。如果出現這樣的結論，則有可能是數據錯了，或者模型選擇錯了。

以上只是我在學習均勻設計時的思考和體會，難免片面，歡迎批評指正。

例：尋求最優工藝條件

來自上一篇最後的例子，試驗結果如下：

試驗設計的目的通常主要有二個，一是揭示變數(Y)與各因子之間的定性關係，二是尋求最優工藝條件，回歸方程的建立可以達到一箭雙鵰的目的。

經過分析，得出回歸方程式：

顯然，要想Y最大，要最大，取3.4，帶入方程，得到下面的式子：

可以用簡單的微積分求得極值，令，解得0.3309-0.12=0，=2.7575，這時Y的極大值為51.85%。工藝條件=3.4，=2.7575 並未出現在原有試驗方案中，故應在這個條件追加試驗，由於的最佳條件在試驗範圍邊界，故應擴大試驗範圍。

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