分形簡介

先恐嚇一下：將來所有不理解分形的人，都會被看作科學盲。

要談分形，就要先從世界是光滑的還是粗糙的談起。在人們的常識認知里，自然界自然是粗糙的，石頭、樹木、雲、地面、人體輪廓、閃電... 凡是非人造的，都是表面不規則或粗糙的，甚至要分辨一個物體是不是經過了智能加工，只要看它的表面是光滑的還是粗糙的就可以了。從人類的知識發展歷史看，一開始歐式幾何描述的是光滑的理想形狀：球形、圓形、立方體、正方形，因為這些外形非常便於分析，但是這種模型無法很好的匹配現實世界。所以後來牛頓、萊布尼茨發明了微積分，試圖進一步貼近自然界的各種外形。從微積分的觀點看，世界是可以求導的，即世界是以光滑的曲線為主體的，若有不光滑的曲線，切割成若干光滑可求導的曲線即可，所謂一顆炸彈不能解決的問題就用兩顆炸彈解決。基於這種思路，拉普拉斯說：如果知道宇宙中每個粒子的位置，並且知道其變化速率，那麼我們就能夠準確的預知宇宙的未來。這就是著名的還原論。

但是事實上基於微積分依然很難描述現實世界裡的形狀和物體，1861年，一個叫做魏爾施特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstra?）的德國數學家發現了一個函數：

這個函數的特點是：處處連續卻處處不可導，換句話說，這個曲線上全是拐點!

這下就尷尬了，既然世界是光滑的，大體上是不應該出現這種函數的，這跟無理數出現時畢達哥拉斯的尷尬程度是類似的。於是乎數學界開始試圖解決這個問題，最終出現了分形幾何學（Fractal Geometry），fractal的意思就是碎片，即這個幾何學就是為了描述我們在自然界中觀察到的不規則形狀，反映了無限的細節、無限的長度和不光滑的曲線特性，或者說是不能求導的特性。

分形學的推導過程和公式很複雜，有興趣的可以自己找資料看，這裡只提幾個有趣的地方。首先是一個作圖遊戲，名字叫做混沌遊戲

1）.在正方形內任意選取三個點組成三角形 （1，2，3），再在任意位置選取一個點（4）

2）.擲骰子，擲出1和2，等於選擇了點1，擲出3-4，等於選擇了點2，擲出5-6，等於選擇了點3，假設選擇的是點2，則在點4和點2之間的中點畫一個點5

3）.同第二步，再次擲骰子，假設選中的是點3，則在點5和點3之間的中點畫一個點6

4）.依此步驟不斷獲得新的中點並畫出，最後得到的圖形如下所示：

這個圖形的名稱叫做：謝爾博斯基三角。圖形本身似乎沒什麼奇怪的，奇怪的是不管起始點4的位置怎麼選擇，最終出來的圖形都是這個三角形。

這個遊戲的結果看起來沒什麼特別，但是換一下起始點事情就變得有趣了，最終會出現如下圖形：

這和蕨類植物的葉子非常類似，具體的演算法可以用「分形 蕨類 c++」做關鍵字自行搜索

這是fltk示常式序fractals生成的島和樹。

結論：

1. 選好了起始點（初始的點1、2、3），結果就已經確定了

2.從長遠看，你最初的決定（初始的點4）對於最終的結果沒有明顯的影響

3.所有實際發生的事情都指向了所謂的吸引子(初始的1、2、3點）

具有吸引子(attractor，也叫奇異吸引子）特徵的幾何就是分形幾何。

說到這裡，不能不延伸到混沌學的領域了，話說統計學上有個很有名的Logistic差分方程：

這個公式用簡單的說法來描述就是代表了某個事物的數量變化關係，如果某一年中物種種群的數量下降到某一水平之下，那麼第二年其數量將會增長，如果物種數量增長過高，那麼對於生存空間和資源的競爭將使得物種種群數量下降，其中R是可調節的參數，但問題也就出在這裡，假設這個公式代表了每年魚群的數量，則

當R=2.6

當R=3.1

當R=3.5

如果X軸代表參數R，Y軸代表魚群數量，則趨勢為下圖：

當R小於3.5時，魚群的數量變化是有規律的，但是當R>3.5之後，魚群的數量會忽然變得變幻莫測，存在各種可能性，以至於完全無法預測。這就是混沌學的緣起。

從混沌學的觀點看，某個非常簡單的規則經過時間衍化，最終的結果會變得無法預知。比如天氣預報，當天的雲層、濕度、風速之類的數據都是可以獲得的，但是將它們放入模型模擬運行之後，隨著時間推移，其可能出現的結果越來越多越來越不規律，其原因就在於其中存在著類似R這樣的參數。當年IBM組建了龐大的機房給用戶提供運算服務，但是不定時總有一些機器會出現錯誤，工程師們試圖找出錯誤出現的規律，但是怎麼也做不到，出錯的幾率完全無法預測，最後只好用冗餘的方式來解決，這也是類似R這樣的參數造成的。一個系統初始階段不複雜，但經過不斷迭代，複雜到一定階段，都會出現無法預測的新形態。

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