Landen變換與圓

01-29

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Gauss的AGM與橢圓積分的關係是他本人年輕時極其重大的發現。定義 $I(a,b)=int_0^{pi/2}frac{1}{sqrt{a^2sin^2theta+b^2cos^2theta}},mathrm{d} theta$

給定正實數 $a, b$ 。定義 $a_0=a, b_0=b, a_{i+1}=(a_i+b_i)/2, b_{i+1}=sqrt{a_ib_i}$

那麼 $lim_{nrightarrowinfty}a_n=lim_{nrightarrowinfty}b_n=M(a,b)$

且 $M(a,b)I(a,b)=pi/2$

Gauss的一個證明是用某類對 $theta$ 的變數代換來證明 $I(a,b)=I((a+b)/2,sqrt{ab})$ . 其中一類變換叫做Landen變換。這樣的變換並不顯然。構造變換的一種方法來自1845年8月6日Jacobi寫給Hermite的信。我以前在圖書館裡看到過這個解法的一部分內容，給我留下了極深的印象，但我並不知道它的出處。直到最近才從這篇文章里

Del Centina, A. Arch. Hist. Exact Sci. (2016)

查到Jacobi證明的原始文檔。Jacobi的信件原文用法語寫成，譯文來自Del Centina的英文譯文。

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Berlin, le 6. a?ut 1845.
柏林, 1845年8月6日
[上略]Permettez-moindajouter une construction géométrique de la transformation dite de Landen, lanpremière qui ait été connue des fonction elliptiques.
讓我來補充一個所謂的Landen變換的幾何構造——這個變換是橢圓函數[理論]的第一個[等式]。
Soit AB le diamètre d』unncercle : si lon mène dun point P du cercle la droite PK au centrenK, langle PKB est double de PAB ; mais si lon mène la droite à un autrenpoint fixe O du diamètre, on obtient langle dans lequel par la transformation denLanden se change lamplitude PAB dune intégrale elliptique dont le complémentndu module est AO/BO, le module transformé étant KO/KA. En effet soit R le rayonndu cercle, $KO = a, PAB = beta, POB = psi$ ; variant P en P, on aurandans le triangle infiniment petit POP ,
設AB是圓的直徑：如果取圓上一點P，引P到圓心K的直線，角PKB是PAB的兩倍；不過如果引[P到]直徑上另外一個定點O的直線，那麼就可以得到角[POK]，Landen變換改變角PAB的幅度[函數]1)，[該函數]是[關於]補模為AO/BO的橢圓積分[的函數]，變換後的模數為KO/KA。實際上設R是圓的半徑，[並且設] $KO = a, PAB = beta, POB = psi$ ;那麼當P變動到P,無限小三角形POP中就有

$PPsin{PPO}=OPsin{POP} ;$
donc
所以
$2Rmathrm dbetacdotcos{KPO}=OPcdot mathrm d psi , frac{2mathrm{d} beta}{OP}=frac{mathrm{d}psi}{Rcos{KPO}};$
or
然而
$OP^2=R^2+a^2+2Racos{2beta}=(R+a)^2cos^2beta+(R-a)^2sin^2beta,$
$R^2cos^2KPO=R^2-R^2sin^2KPO=R^2-a^2sin^2psi;$
donc
因此
$frac{2mathrm dbeta}{sqrt{(R+a)^2cos^2beta+(R-a)^2sin^2beta}}=frac{mathrm dpsi}{sqrt{R^2cos^2psi+ (R^2-a^2)sin^2psi }}.n$

On a, en mêmentemps,
同時有
$sinpsi=frac{APcdotsinbeta}{OP}=frac{2Rsinbetacosbeta}{sqrt{(R+a)^2cos^2beta+(R-a)^2sin^2beta }},$
ce qui est lansubstitution de Landen.
就是Landen變換。[下略]

注1): Jacobi這裡所指的"幅度"(amplitude)應該是這個：Jacobi Amplitude。它與橢圓積分的反函數緊密相關。模數指積分中 $int_0^{phi}frac{1}{sqrt{1-k^2cos^2theta}},mathrm{d} theta$ 的參數k. 補模 $k^prime$ 則滿足 $(k^prime)^2+k^2=1$ 。Jacobi的構造和Gauss的某個證明一樣，都是從積分 $I(1+k,1-k)$ 開始的。

2) 我們整理一下Jacobi的構造。Jacobi的構造證明，令 $a/R=k_0$ ,只要

$sinpsi=frac{2sinbetacosbeta}{sqrt{(1+k_0)^2cos^2beta+(1-k_0)^2sin^2beta }}$

那麼就有

$frac{2mathrm dbeta}{sqrt{(1+k_0)^2cos^2beta+(1-k_0)^2sin^2beta}}=frac{mathrm dpsi}{sqrt{cos^2psi+ (k_0^prime)^2sin^2psi }}.$

其實同時有 $tanpsi=frac{2sinbetacosbeta}{1+k_0-2sin^2beta}$

這就是著名的Landen變換的某個形式。

3) Gauss的證明使用的是另一個變換

$sintheta=frac{2asintheta^prime}{a+b+(a-b)sin^2theta^prime}$

這個變換有沒有類似於Jacobi給出的幾何解釋尚不清楚。它與Landen變換之間有什麼樣的關係呢？這個關係其實一點也不顯然。它與Landen變換是靠著另一個Jacobi發現的變換而聯繫在一起的。

Jacobi在1828年發表的變換是這樣的:

$sin{hatbeta}=itan{beta}$ ,
i是虛數單位。

很容易證明同時有

$cos{hatbeta}=frac{1}{cosbeta},tan{hatbeta}=isin{beta}$

$frac{mathrm dhatbeta}{sqrt{1-k^2sin^2hatbeta}}=frac{imathrm dbeta}{sqrt{cos^2beta+ k^2sin^2beta }}.$

根據這個我們同時對 $psi$ 做相同的變換

$sin{hatpsi}=itan{psi}$

那麼2)中的最後一個變換自然而然就是

$sinhatpsi=frac{2sinhatbeta}{(1+k_0)cos^2hatbeta+2sin^2hatbeta}$

在此變換下同時有

$frac{2mathrm dhatbeta}{sqrt{(1+k_0)^2-(1-k_0)^2sin^2hatbeta}}=frac{mathrm dhatpsi}{sqrt{1- (k_0^prime)^2sin^2hatpsi }}.$

也就是

$frac{mathrm dhatbeta}{sqrt{left(frac{1+k_0}{2}right)^2cos^2hatbeta+k_0sin^2hatbeta}}=frac{mathrm dhatpsi}{sqrt{cos^2hatpsi+ k_0^2sin^2hatpsi }}.$
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