什麼是混疊?

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數據採集時，如果採樣頻率不滿足採樣定理，可能會導致採樣後的信號存在混疊。那什麼是混疊，混疊會造成什麼樣的誤差？除了頻率誤差之外，還是否有其他誤差？幅值正確嗎？

本文主要內容包括：

1. 混疊定義；

2. 混疊實例；

3. 怎樣最小化混疊；

4. 計算混疊後的頻率；

5. 階次混疊。

1. 混疊定義

當採樣頻率設置不合理時，即採樣頻率低於2倍的信號頻率時，會導致原本的高頻信號被採樣成低頻信號。如下圖所示，紅色信號是原始的高頻信號，但是由於採樣頻率不滿足採樣定理的要求，導致實際採樣點如圖中藍色實心點所示，將這些藍色實際採樣點連成曲線，可以明顯地看出這是一個低頻信號。在圖示的時間長度內，原始紅色信號有18個周期，但採樣後的藍色信號只有2個周期。也就是採樣後的信號頻率成分為原始信號頻率成分的1/9，這就是所謂的混疊：高頻混疊成低頻了。

對連續信號進行等時間採樣時，如果採樣頻率不滿足採樣定理，採樣後的信號頻率就會發生混疊，即高於奈奎斯特頻率（採樣頻率的一半）的頻率成分將被重構成低於奈奎斯特頻率的信號。這種頻譜的重疊導致的失真稱為混疊，也就是高頻信號被混疊成了低頻信號。

2. 混疊實例

倘若對一個正弦信號進行採樣，如果採樣頻率等於信號頻率，那麼採樣的時間間隔等於信號周期，因而，信號的每個周期只能採集到一個數據，如下面左圖所示，將這樣採樣數據點連成線條，得到的線條將是一條直線，因而，對應的頻率成分為0Hz。

如果採樣頻率為這個正弦信號的頻率成分的2倍，因而，採樣的時間間隔為信號周期的一半，因此，信號每個周期內的採樣點數為2，也就是每個周期採集兩個數據點，如上面右圖所示。將這些採樣點連成線條，得到的信號形狀為三角波，雖然信號的頻率成分沒有失信，但是很難保證信號的幅值不失真。因為這兩個採樣點很難位於正弦信號的波峰與波谷處。也就是說，在很大程度上，採樣後的信號的幅值是失真的。

通常情況下，若採樣頻率小於2倍的信號頻率，即fs<2*fa，那麼，採樣後的信號將存在混疊。如下面左圖所示，由於信號中存在超出奈奎斯特頻率的信號存在，採樣後的信號，將會使超過奈奎斯特頻率成分之上的頻率關於奈奎斯特頻率鏡像到奈奎斯特頻率以下的可觀測區域，如下面右圖所示。

在這給出一個掃頻的混疊實例。掃頻信號為100-600Hz，採樣頻率為1000Hz，因而可觀測到500Hz以內的信號成分。因此，對100-500Hz以內的信號進行採樣，頻率是沒有問題的，但是對於超出500Hz以上的頻率成分，從下面動態圖中的頻譜可以看出這部分信號最後混疊成了400-500Hz。

用於演示混疊現象的最經典例子之一是所謂的「車輪效應」。在影片里當馬車越走越快時，馬車車輪似乎越走越慢，然後甚至朝反方向運轉。剛開始輪輻逆時針運轉，然後逐漸變慢並開始順時針運轉。

與車輪效應相同的是轉動的吊扇，小時候都見過家中的吊扇，當轉速越來越快時，出現的現象是先順時針旋轉，然後靜止，然後逆時針旋轉。這是因為人眼在看物體時，人眼也有一定的採樣速率。當人眼的採樣速率跟不上越來越快的轉速時，就會出現混疊現象。靜止不動時的轉速對應的頻率就是人眼的採樣速率。

人眼在觀看轉動的吊扇時，對於倒轉現象是因為高速旋轉的葉片轉速非常快，在短時間內從0度順時針旋轉到330度時（假設的情況），人眼觀察到的似乎是從360度逆時針旋轉到330度，因此，看起來像是在倒轉。

3. 怎樣最小化混疊

既然信號可能存在混疊，怎樣才能最小化混疊或者消除混疊呢？

初看起來，如果信號中沒有高於奈奎斯特頻率的頻率成分，那麼則不存在混疊。這要求採樣頻率極高，使得實際信號都位於奈奎斯特頻率以下。但這不總是實用和可能，因為，您永遠不知道真實信號的頻率成分。另一個方面，雖然採樣頻率極高可以一定程度上避免混疊，但這樣會導致出現大的數據文件，同時，最高採樣頻率受數據採集設備的限制。

另外，採樣定理只保證了信號不被歪曲為低頻信號，即使高的採樣頻率也不能保證不受高頻信號的干擾，如果感測器輸出的信號中含有比奈奎斯特頻率還高的頻率成分存在，ADC同樣會以所選採樣頻率加以採樣，使高於奈奎斯特頻率的頻率成分混入分析帶寬之內。

故在採樣前，應把高於奈奎斯特頻率成分以上的頻率濾掉，這就需要抗混疊濾波器，它是一個低通濾波器：低於奈奎斯特頻率的頻率通過，移除高於奈奎斯特頻率的頻率成分，這是理想的濾波器。

理想濾波器

實際濾波器

實際情況是任何濾波器都不是理想的濾波器，抗混疊濾波器也不例外。濾波器存在濾波陡度，在濾波截止頻率（奈奎斯特頻率）以上的一些區域還存在混疊的可能性，這個區域對應帶寬的80%以上部分，也就是帶寬的80%-100%區域。如下圖所示，高於奈奎斯特頻率以上的頻率成分會關於奈奎斯特頻率鏡像到帶寬的80%-100%區域，形成混疊，而帶寬80%以內的區域，是無混疊的。

當然了，如果信號中沒有高於奈奎斯特頻率的成分存在，則整個帶寬都不存在混疊。當信號還有高於奈奎斯特頻率有成分存在時，按採樣定理設置採樣頻率時，帶寬的80%以上頻帶則存在混疊，如下圖紅框所示區域即遭受了頻率混疊的影響。由於帶寬以上還有信號存在，因此，這些頻率關於帶寬鏡像到了帶寬以內。

通過這一部分的分析可知，即使使用抗混疊濾波器，在帶寬的80%以上的頻率區間還可能存在混疊，如要整個頻帶都無混疊，則採樣頻率至少高於信號頻率的2.5倍以上。

4. 計算混疊後的頻率

若沒有抗混疊濾波器存在，信號必然存在混疊，那麼怎麼求解混疊後的頻率成分？在這介紹兩種方法：一種稱為鏡像法，一種稱為公式法。

鏡像法

假設信號的頻率fa大於採樣頻率fs，因此，採樣後必然存在混疊。這時，信號頻率將會關於離它最近的整數倍的奈奎斯特頻率鏡像，如果鏡像後的頻率位於觀測的帶寬以內，則是混疊後的頻率。如果鏡像後的頻率還未位於觀測的帶寬以內，則會關於下一個整數倍的奈奎斯特頻率鏡像（往0Hz方向），直到鏡像到帶寬以內為止。

如下圖所示，信號的頻率fa首先關於3倍奈奎斯特頻率鏡像，但此時還不是帶寬以內，所以，之前鏡像後的頻率又關於2倍奈奎斯特頻率鏡像，但還不是帶寬以內，需要繼續將關於2倍奈奎斯特頻率鏡像後的頻率關於1倍奈奎斯特頻率鏡像，這時，頻率終於位於觀測的帶寬以內，這就是混疊後的頻率fd。

公式法

對於混疊現象，也可以從下面的數學公式得到混疊後的頻率

K是個整數，取值從0開始，適當的取值應使得|fa-Kfs|最小。因而，可以將上式寫成

比如考慮採樣頻率為500Hz，採集各種不同頻率的信號，結果如下表所示，注意數字化後的頻率重複出現。

實際頻率faHz------最小K值---------混疊的頻率fd Hz

180--------------0--------------------180

280-------------1-------------------220

380-------------1-------------------120

480-------------1-------------------20

580-------------1-------------------80

680--------------1-----------------180

780-------------2-----------------220

880-------------2----------------120

980--------------2---------------20

--------------我是空格符

5. 階次混疊

除了頻率混疊之外，還會存在階次混疊。由於階次可以在頻域顯示也可以在階次域顯示，因此，階次混疊存在頻域混疊和階次域混疊兩種情況。

在頻域顯示時，階次是斜線，高於最大階次以上的階次成分會關於最大階次線鏡像到最大階次以內，如下面左圖所示。當在階次域時，階次垂直於橫縱，此時階次混疊類似於頻率混疊，如下面右圖所示。

下圖中，左圖為60個PPR採集得到的信號，那麼，能分析到的最大階次為30階次。信號的主要階次為1，2，10，17階次。右圖為20個PPR採集得到的信號，那麼，能分析的最大階次為10階次。此時，右圖中的主要階次為1，2，3，10階次。右圖中沒有17階次，多出來一個3階次。這是由於採用20個PPR進行信號採集時，只能採集得到10階次以內的信息，17階次高於最大階次，此時，17階次將關於最大階次線混疊成了3階次（17階次關於10階次鏡像成了3階次），這是階次混疊現象。

擴展閱讀

1.什麼是泄漏？

2.採樣混疊和車輪效應

3.採樣頻率到底多高才不會使信號幅值明顯失真？

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