能帶理論2——三個重要近似

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理論上，Schr?dinger equation $[-frac{hbar^2}{2m}frac{partial^2}{partial x^2} +V(x)]psi ( {x} )=Epsi ( {x} )$ 精確描述了一個系統的運動狀態。只要對其求解，就能得到任何想要的可觀測量。但問題是，對於一個實際研究對象，比如含有N個原子的晶體而言，它的Hamiltonian可表示為

顯然，將這樣的Hamiltonian帶入Schr?dinger 方程是目前人類沒有能力計算的。為此，物理學家對晶體中的電子狀態做了重要的近似，使其變得簡潔可解。

能帶理論（Energy band theory ）是討論晶體中電子的狀態及其運動的一種重要的近似理論。它把晶體中每個電子的運動看成是獨立的在一個等效勢場中的運動，即是單電子近似的理論；對於晶體中的價電子而言，等效勢場包括離子實的勢場、其他價電子的平均勢場和考慮電子波函數反對稱而帶來交換作用，是一種晶體周期性的勢場。

能帶論是一種近似理論，主要基於三個假設（近似）構建：

Born——Oppenheimer 絕熱近似

認為離子實是靜止不動的

理由之一：原子振動相對於原子間距是很小的，5%，所以電子受到晶格的畸變很小(正常態）；

理由之二：原子質量大，相對與電子的運動速度慢。

單電子近似

其它電子的影響忽略，或歸結到勢場。

理由：由於泡利不相容原理，兩電子間的平均距離較大。

周期場近似

離子實或其它電子的作用歸結為一個周期性勢場： $V( {r} )=V ( {r+R_n} )$

能帶問題簡化為「單電子在周期場」的運動 $Hpsi ( {r} )=Epsi ( {r} )$

$[-Sigma frac{hbar^2}{2m}frac{partial^2}{partial r_i^2}+V(r)]psi ( {r} )=Epsi ( {r} )$

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