第五課——掐指一算，今日宜出行

01-29

//似乎已經坑了很久很久了，那麼今天就繼續以前的課程吧……

在航天活動中，我們往往都能得到這樣的消息：「xx衛星/探測器預計xx年發射」，當然這一部分是由研製計劃決定的，畢竟一個項目從立項到實現起碼得幾年，越是基礎的，時間要的越久。

然而另一部分是更重要的：那就是星球之間的相對位置。

重要到什麼程度呢？在有些時候，碰到了星球的排列非常罕見的情況，一些航天機構甚至是「提著褲子上陣」的。

一個典型的例子就是旅行者1號/2號，當年星球的排列足夠讓探測器一次從地球路過木星、土星、天王星、海王星，這種好事可不是隨隨便便就能碰到的——NASA自然不敢怠慢，趕緊發射倆探測器，過了這個村，那就沒這個店了。

那麼在一般的星際航行的過程中，由於星球的距離比較遙遠，我們也遠還沒達到科幻小說家們筆下那種「人類抖一抖，折躍滿地走，蟲洞到處有，聚變不如狗」的時代，因此飛行的時間也比較漫長，不得不將行星之間相對運動也得考慮進去。這就導致了我們需要進行一系列計算，打好提前量，以便讓我們的各種航天器能夠準確抵達我們的目標星球。

從第二課我們知道，最省能量的軌跡是霍曼轉移軌道。而這種運行軌道需要的時間卻不是最短的——大家都知道速度越快越省時嘛。在載人航天過程中我們可能還需要以速度換時間，但對於探測器來說，省下這點時間是沒什麼區別的。所以為了節省能量，多帶一點東西，走霍曼轉移的路子依舊是可以接受的。

//當然如果目的地實在是太遠了，霍曼轉移動輒十幾年、幾十年的，那我們還是另請高明吧。

套用第二課的一個結果：

$T=frac{2pi a^{frac{3}{2} } }{sqrt{GM} }$ ，以及 $a=frac{r_{1}+r_{2}} {2}$ ，有 $T=2pi (frac{r_1+r_2}{2} )^{frac{3}{2} } frac{1}{sqrt{GM} }$

由於轉移過程是半個周期的轉移，所以實際上需要的時間就是一半，即：

$t=pi (frac{r_1+r_2}{2} )^{frac{3}{2} } frac{1}{sqrt{GM} }$

對於地-火轉移軌道，我們只需要將太陽質量、日地平均距離、日火平均距離、萬有引力常數代入即可。

可以得到 $tapprox 258 d$ ，也就是說，我們大概飛個大半年就能到火星了，感覺也不慢呢。

當我們知道了飛行時間之後，那麼我們根據兩個星球的公轉速度，就能很方便地知道該什麼時候發射了。首先，我們定火星的一個位點A，然後由此反推出258天以前，火星的位置C。又因為霍曼轉移的軌道兩端分別是近日點與遠日點，既然A點已經是遠日點了，那麼在258天以前的地球的位置就在近日點B。由B、C，以及太陽位置O，連接BO、CO，我們就能得到一個角∠BOC。當火星-地球滿足這個角度的時候，我們就可以動手發射航天器了。利用這個方法，我們簡單地推算出發射窗口在哪裡。

//不要問為什麼這麼難看，用腳畫的。

火星公轉周期為686.98日，也就是說，每天運行 $frac{360}{686.98}approx 0.524$ °，運轉了258天，∠AOC就是 $258times frac{360}{686.98}approx 135.2$ °，那麼作為∠AOC的補角，∠BOC=44.8°，即火星領先地球，地-日-火三者夾角為44.8°的時候發射即可。

不慎錯過了怎麼辦？畢竟這種遺憾的事情時有發生。

地球的公轉周期是365.24日，那麼每天運行 $frac{360}{365.24}approx 0.986$ °，也就是說二者之間的夾角每天將會縮短0.462°，下次達到這個角度將是 $frac{360}{0.462}approx 779d$ 之後的事情了。也就是說我們如果不幸錯過了這波發射的窗口期，下一次就得等兩年多。

然而這種情況的前提條件是，兩個星球的軌道都是標準的正圓形。開普勒第一定律告訴我們，行星的軌道實際上是一個以太陽為焦點的橢圓形，而且其離心率也是比較可觀的（對於火星而言，大約0.1左右）。這就意味著我們計算的結果實際上會有一個比較大的浮動。

但這依舊不意味著我們的計算是完全錯誤、沒有意義的，至少我們能大致確定下來一個時間範圍。剩下可以不間斷地進行迭代，最後得出一個比較精確的發射窗口了。只要初始參數足夠精確，我們甚至可以預測某個著陸器將會在哪裡著陸。

那麼下面我們就可以選取幾個例子作為一定的佐證：

最近發射的登陸器是於2011年11月26日發射的「好奇號」，2012年8月6日著陸，歷時254天。

對於霍曼轉移時間的預期，符合的還是比較好的。當然符合得好也是需要條件的：

一方面是好奇號全部質量大約有4噸，宇宙神V的運力也差不多就是這樣了，實在是沒什麼空間去加速；另一方面就是地球-火星之間的距離也比較中庸，也堪堪算是一個「平均狀態」，既沒有2003年歷史性的近距離，也沒有2013年的遠距離（前者導致了「勇氣號」與「機遇號」雙子星僅僅花了205天與202天就抵達了火星，上演了一出太空飆車的好戲；後者導致了印度的「曼加里安」跟美國的MAVEN足足花了300多天的時間才到達。這兩件事情從側面證明了簡單的平均距離法的計算，浮動範圍是多麼地巨大）。

「好奇號」之前的「鳳凰號」是在2007年8月4日發射的，這兩次發射間隔為1575天，這與兩個發射周期的時長也符合得不錯。因此，我們還是可以抱有一定的希望去預測之後的發射窗口的。

我們說2020年要發射我國的火星探測器，那會是什麼時候呢？

按照剛才的計算，我們的探測器有可能在2020年的五月或者六月份發射。當然這個預測算是口胡的，實際上還是以官方發布為準。

如果一切順利的話，2021年初春，我們就能看到我們的火星探測器進入火星軌道，著陸器就在這片熒惑之地上奔跑了。

那麼各位，靜等2020年吧。

つづく……