微分流形（上）

01-29

對應課程：《微分流形》n

（註：本文的「場」皆指「光滑場」，「流形」均指「微分流形（光滑流形）」，流形 $M$ 的維數均為 $m$ 。「場」是「叢」的光滑截面）

（特註：在流形中，我們往往對它的道路連通分支感興趣，又由於流形具有局部道路連通性，所以流形的連通性等價於道路連通性，因此我們今後無特殊聲明下，均將流形視為連通的，即超曲面）

幾何學研究對象

拓撲流形 $bf supset$ 微分流形 $bf supset$ 微分幾何

微分流形

微分流形課程主要研究一類有微分結構的幾何對象 $M$ （稱為流形）。不過在一般的微分流形教材中，內容比較零散，這也是由於微分流形的延伸性太強或者說太基礎而導致的，往往有些教材想每一點都展開卻又限於所學知識因而無法深入，在這裡我想嘗試整理一下學習微分流形課程的筆記，並抽出這門課最主要最基礎的線索，盡量把思路說清楚。在思考了很長一段時間後，我覺得這門課大體可以分成三個部分來談：

流形上的切場與李群上的左不變切場（一到四章）
流形上一般的向量場（第五章）
流形上的積分與Stokes公式（第六章）

本文主要具體討論第一部分內容。

【一】微分流形的基本概念

1.1 微分流形

【微分流形】什麼是微分流形？一個 $m$ 維微分流形就是一個賦予了微分結構的 $m$ 維拓撲流形。 $m$ 維拓撲流形是指局部同胚於 $m$ 維歐式空間的 $T_2$ （既Hausdorff性）且 $C_2$ （即滿足第二可數性質）拓撲空間，一維的話理解成曲線，二維的話理解成曲面。而在其上賦予微分結構是指，這個拓撲流形是由同胚於歐式空間的局部光滑粘貼起來的，就是很光滑的曲線或者曲面等等。並且一旦賦予微分結構，流形上每一點 $p$ 都會有一個局部的坐標域 ${u^i}$ ，方便我們在流形上進行局部的運算。

以下所說的「流形」均指（賦予了微分結構的）「微分流形」。

【微分同胚】現實中，我們往往會思考兩個流形是不是一樣？如何判斷這兩個流形一樣，使得在計算和分析的時候可以用另一個流形來替代？於是我們引入微分同胚（或稱光滑同胚）的概念：兩個流形微分同胚是指存在一個可逆的光滑映射，並且逆映射也是光滑的（注意與同胚的區別：同胚只要求存在一個可逆的連續映射，並且逆映射也連續）。因此，一旦兩個流形微分同胚，那麼上面的問題都是可以肯定回答了。值得一提的是，對維數不超過3的流形，同胚一定微分同胚。而四維以上便有了最著名的「七維怪球」的反例！

1.2 流形上的切空間和餘切空間

【切空間】給了一個 $m$ 維流形 $M$ 後，既然它是光滑的，那麼對於其上的每一點 $p$ ，就有一個和 $p$ 「相切」的 $m$ 維線性空間，好比一條光滑曲線（1維流形）上任一點有一條（1維）切線，一個光滑曲面（2維流形）上任一點有一個（2維）切平面一樣，稱這個相切的線性空間為 $M$ 在 $p$ 點的（ $m$ 維）切空間，記為 $T_p$ （或 $T_{p}M$ ）。在取定 $p$ 的一個局部的坐標域 ${u^i}$ 後， $T_p$ 的一組基有表示 ${frac{partial}{partial u^{i}}|_{p}}_{i=1}^{m}$ 。

【餘切空間】我們知道一個線性空間 $V$ 有一個對偶空間 $V^{*}$ ，那麼上述流形在 $p$ 點的切空間 $T_p$ 的對偶空間 $T_{p}^{*}$ 稱為點 $p$ 上的餘切空間，並且 $T_{p}^{*}$ 中的元素 $mathrm{d}f$ 在 $T_p$ 中的元素 $X_p$ 上的共軛作用記為 $<X_{p},mathrm{d}f>$ ，其中， $f$ 是 $M$ 上光滑函數空間 $C^{ infty} (M)$ 中的元素， $mathrm{d}f$ 為 $f$ 在流形 $M$ 上的全微分（因此 $mathrm{d}f$ 也屬是 $M$ 上的一個一次微分形式，即餘切場）。在取定 $p$ 的一個局部的坐標域 ${u^i}$ 後， $T_{p}^{*}$ 的一組基有表示 ${mathrm{d}u^{i}|_p}_{i=1}^{m}$ 。

當流形是 $R^2$ （歐式平面）時， $<X_{p},mathrm{d}f>$ 就是光滑函數 $f$ 在 $p$ 點處沿 $X_p$ 方向的方嚮導數（設 $X_{p}=sum_{i=1}^{2}{a^{i}frac{partial}{partial x^i}}$ ， $mathrm{d}f=sum_{i=1}^{2} frac{partial f}{partial x^i}mathrm{d}x^i$ ，則 $<X_{p},mathrm{d}f>=sum_{i=1}^{2} a^{i}frac{partial f}{partial x^i} =mathrm{D}_{X_p}f$ ）。

【拉回與推前映射】如果兩個流形間存在一個光滑映射 $varphi :Mrightarrow N$ ，（ $M$ 為 $m$ 維流形， $N$ 為 $n$ 維流形）那麼由這個映射可以自然誘導出流形 $M$ 上每一點 $p$ 處切空間 $T_p$ 到 $N$ 上相應點 $q=varphi (p)$ 上切空間 $T_{q}$ 的線性映射 $varphi _*$ （稱為推前映射），以及 $T_{q}^*$ 到 $T_{p}^*$ 的線性映射 $varphi ^*$ （稱為拉回映射）。以下關係圖可以更直觀幫助記憶：

$varphi :Mrightarrow N$

$varphi_*: T_p rightarrow T_q$

$varphi^{*}: T_p leftarrow T_q$

並且這種如果 $varphi$ 在 $p$ 處的Frechet導數是矩陣 $A=(frac{partial v^i }{partial u^j} )_{ntimes m}$ （ ${u^i}$ 為 $p$ 的局部坐標域， ${v^i}$ 為 $q$ 的局部坐標域），那麼 $varphi _*$ 的矩陣表示便是 $A$ ，而 $varphi ^*$ 的矩陣表示便是 $A^T$ （表示轉置）。

注意：在微分同胚下，這兩種映射可以從局部的 $p$ 點擴大到整個流形上，即把流形上的場拉回或推前到另一個流形上形成另一個流形上一個場，且此時推前或拉回為同構。但是，如果只是光滑映射，則推前映射不能保證把「場」推前到「場」，而拉回映射可以把「場」拉回到「場」，因為光滑映射不能保證是滿射且單射！

1.3 子流形

在高等數學或者數學分析中，我們學習了Stokes公式：三維坐標系下二維曲面上的積分與它邊界上的積分的關係。為什麼要用三維坐標系，即在三維流形（歐式空間）下觀看二維的流形（曲面）？其本質思想是一個流形「嵌」到另一個（維數至少和它一樣）的流形中，用很自然的三維坐標去表示二維流形的坐標，而不要費力地研究二維流形上每一點的局部坐標。於是，我們便引入一下「子流形」的概念。

【浸入子流形】給定 $m$ 維流形 $M$ 和 $n$ 維流形 $N$ （ $ngeq m$ ），流形 $M$ 能浸入流形 $N$ 成為 $N$ 的浸入子流形是指，存在一個光滑映射 $varphi :Mrightarrow N$ ， $varphi$ 在任一點的Frechet導數滿秩（此時有局部單射定理），則稱 $(varphi ,M)$ 為 $N$ 的一個浸入子流形。

【嵌入子流形】如果上述映射還滿足是單射，且 $varphi :Mrightarrow varphi (M)subset N$ 為同胚，那麼稱 $(varphi ,M)$ 為 $N$ 的一個嵌入子流形。此時， $varphi (M)$ 的微分結構和 $varphi (M)$ 作為 $N$ 的子拓撲空間誘導的微分結構一致。並且我們有定理：如果流形 $M$ 是緊緻的流形，那麼嵌入一定是正則嵌入的。

那麼，給定一個流形，它能不能嵌入到一個更高維的歐式空間中去呢？美國數學家H.Whitney給出了一個漂亮的結論：任何一個 $m$ 維流形是可以嵌入到 $2m+1$ 維歐式空間 $E^{2m+1}$ 中的。但我們目前的能力只能證明：一個 $m$ 維緊緻流形總可以嵌入到某一個更高維的歐式空間 $E^n$ 中。

【二】流形上的全體切場

在了解了流形的一些初步概念後，在這章，我們將要先得到切場的兩個等價定義，再看看所有切場構成的全體有沒有什麼特殊的代數性質。

2.1 切場——切叢的光滑截面

在上一章我們看到，流形 $M$ 上每一個點 $p$ 都有一個切空間 $T_{p}$ ，很自然地，我們想知道有沒有一種性質比較好（光滑）的映射（切場），把每個點 $p$ 映射到切空間 $T_{p}$ 中的一個元素。在一般的 $R^{n}$ 中，我們知道（光滑）向量場 $R^{n}rightarrow R^{n}$ 的定義，但是流形上的切場該如何定義？

【切叢】一種很漂亮的想法是在 $M$ 中每個點 $p$ 上放一個切空間 $T^{p}$ ，並且把這些切空間並起來形成 $T(M):=bigcup_{pin M}T_{p}$ ，可以證明這也是一個流形，稱之為 $M$ 的切叢。

【切場】接著，考慮底空間 $M$ 到切叢 $T(M)$ 的一個光滑截面 $X$ （定義為： $X:Mrightarrow bigcup_{pin M}T_{p}$ 是光滑映射，且 $pi circ X=id:Mrightarrow M$ ，其中， $pi$ 為 $T(M)rightarrow M$ 的自然投影，其為光滑滿射。這樣就很好地把流形上的每一個點映射到這個點的切空間中的一個切向量），記 $Gamma (T(M))$ 為所有 $X$ 構成的全體，並稱 $X$ 為流形 $M$ 的一個（光滑）切場。（映射怎麼理解成截面？想像 $R^{2}rightarrow R$ 的一個函數 $f$ ，在 $R^{3}$ 中， $f$ 可以看成一個面）

2.2 另一個角度看切場全體——一般線性李代數 ${cal L}(C^{ infty} (M))$ 的李子代數

【切場的另一種等價定義】讓流形 $M$ 上所有光滑函數全體構成線性空間 $C^{ infty} (M)$ ，則 $M$ 上的切場 $X$ 可以看成該空間上的「具有特殊性質」的線性變換運算元，即把 $fin C^{infty}(M)$ 變換到 $Xfin C^{infty}(M)$ ，具體定義是 $M$ 上每一點 $p$ ， $(Xf)_{p} :=<X_{P},df>$ 。因此有切場的另一種等價定義，即「具有特殊性質」的一類 $C^{ infty} (M)$ 上的線性變換運算元。

【 $Gamma (T(M))subseteq {cal L}(C^{ infty} (M))$ 】可以驗證，這些「具有特殊性質」的線性變換運算元的全體構成的集合 $Gamma (T(M))$ 是一個線性空間，所以也是 $C^{ infty} (M)$ 上所有線性變換運算元構成的線性空間 ${cal L}(C^{ infty} (M))$ 的子空間。

【 $Gamma (T(M))$ 為李代數】由3.1節知在 ${cal L}(C^{ infty} (M))$ 上可以定義李括弧構成一般線性李代數 $({cal L}(C^{ infty} (M)),[,])$ ，由於 $C^infty(M)$ 可看成一個代數，因此可記為 $Op(C^infty(M))$ 。同樣可以驗證子空間 $Gamma (T(M))$ 關於李括弧封閉，所以其也是一個李代數 $(Gamma (T(M)),[,])$ ，是上述一般線性李代數的李子代數，更具體的， $Gamma (T(M))congtext{Der}(C^infty(M))$ ，為 $Op(C^infty(M))$ 的李子代數（此即上述所說的「具有特殊性質」的一類線性運算元）。

綜上，我們得出結論，流形 $M$ 上的切場全體 $Gamma (T(M))$ 在李括弧下構成一個（線性）李代數 $(Gamma (T(M)),[,])$ ！這樣，我們本文的任務便完成了1/4!

【三】李群的李代數——全體左不變切場

在觀察到一般流形上的切場全體的代數結構後，我們轉向更為特殊的流形（李群）上的更為特殊的切場（左不變切場）全體的代數結構。

3.1 李代數

【李代數】先不談李群，談一談什麼是李代數。抽象的李代數的定義為：一個定義了特殊的二元運算的線性空間（運算滿足雙線性性、反對稱性和雅克比性，但不要求滿足結合律）。但是定義太抽象了，我們有一類更具體些的例子：線性空間 $V$ ， ${cal L}(V)$ 是 $V$ 上所有線性變換運算元構成的線性空間，（其上有乘法運算，定義為兩個運算元的複合）在 ${cal L}(V)$ 上定義李括弧： $[,]:{cal L}(V)times {cal L}(V)rightarrow {cal L}(V)$ ， $(X,Y)rightarrow [X,Y]=XY-YX$ ，則可以驗證 ${cal L}(V)$ 關於李括弧的運算成為一個李代數，稱為一般線性李代數。（特別地，當 $V$ 是一個代數時，記為 $Op(V)$ 。稱 $V$ 上滿足 $D(ab)=D(a)b+aD(b)$ 的線性運算元 $D$ 為 $A$ 的導子。記 $A$ 上所有導子構成的全體為 $text{Der}(V)$ ，則 $text{Der}(V)$ 為 $Op(V)$ 的一個李子代數） $H$ 稱為李代數 $V$ 的李子代數，當且僅當 $H$ 是 $V$ 的在二元運算下封閉的線性子空間（ $H$ 也是一個李代數）。特別地，一般線性李代數的李子代數稱為線性李代數。

【有限維李代數與結構常數的相互決定】當一個李代數 $V$ 的維數是有限維的時候，它決定了 $V$ 上的一個特殊的 $(1,2)$ 型張量 $C$ （稱為結構張量），在取定這個李代數一組基 ${ X_1,X_2,...,X_m }$ 後， $C$ 有了坐標形式 $C_{ij}^{k}$ （稱為結構常數），並且 $C_{ij}^{k}$ 恰好滿足 $[X_i,X_j]=C_{ij}^{k}X_{k}$ ，這樣，我們就知道了一個李代數具體的運演算法則。那麼，給定線性空間上的一組基，並且給定一個結構常數 $C_{ij}^{k}$ ，那麼我們能不能決定這個空間的一個李代數結構呢？答案是肯定的，所以一個李代數和賦予了一個結構常數的（給定基）的線性空間是一一決定的！

3.2 李群的李代數——左不變切場全體

談完了李代數，我們回到李群。首先我們先了解一下什麼是李群。

【李群】李群 $G$ 是一個特殊的 $m$ 維流形，其上不僅有微分結構，還有群的結構，並且群運算是光滑的，稱這樣的流形 $G$ 為一個李群。兩個李群同構是指這兩個李群微分同胚且群同構，兩個李群同態是指兩者間存在一個光滑映射，且這個映射是一個群同態。

【李群的李代數 ${cal G}$ （左不變切場全體）】談了那麼多李代數，那麼一個李群 $G$ 的李代數是什麼呢？在這個賦有「群性質」的微分流形上，我們稱它所有左不變切場 ${cal G}$ （其同構於 $G$ 在單位元 $e$ 處的切空間 $T_e$ ，因此 ${cal G}$ 是 $m$ 維線性空間）為這個李群 $G$ 的李代數。為什麼？為什麼不是之前我們所討論的 $Gamma (T(M))$ 為它的李代數？因為 $Gamma (T(M))$ 太平凡了，不要求 $G$ 是一個李群，哪怕 $G$ 是任一個微分流形都有這種全體切場構成的李代數（我們之前討論過），所以我們試圖把李代數 $Gamma (T(M))$ 縮小一些，得到它的子空間 ${cal G}$ 。注意， ${cal G}$ 中的元素也是切場，而且是一些只有在 $G$ 是李群時才會有特殊性質的切場。（同時由於2.2節的討論我們知道這類特殊的切場又是一些「更」特殊線性變換運算元）並且，我們可以驗證 ${cal G}$ 在李括弧下也封閉，因此 ${cal G}$ 也是一個（線性）李代數，稱為李群 $G$ 的李代數。而 ${cal G}$ 究竟特殊在哪？由於 ${cal G}$ 同構於 $T_e$ ，因此我們得出 ${cal G}$ 的維數是 $m$ ，是一個有限維的李代數！（而 $Gamma (T(M))$ 是無限維的李代數）並且任意 $Xin {cal G}$ ， $X$ 在 $g$ 點的取值可以由 $X$ 在 $e$ 點的值加上左移動 $L_{g}$ （ $L_{g}:Grightarrow G,arightarrow ga$ ）決定！於是便有：

$(L_{g})_{*}X=X$ （左不變的含義）！

另一種意義上來說，只要取 $T_e$ 中的一個元素 $X_{e}$ ,就能把 $X_{e}$ 經過上述的有李群本身性質決定的左移動延拓成整個流形 $G$ 上的一個切場，因此這個意義上說， ${cal G}$ 與 $T_e$ 是同構的！

以下，在李群中，李代數均特指左不變切場全體構成的李代數！

【結構方程】好了，我們知道了李群能決定其上的一個李代數（左不變切場），那麼我們怎麼獲取這個李代數的信息？由於有限維李代數和結構常數相互決定，所以我們不妨看看這個李代數的結構常數是什麼。求結構常數的一種方法稱為結構方程法，通過結構方程來求得結構常數，進而知道李代數的結構。具體而言，考慮 $m$ 維李代數 ${cal G}$ （同構於 $T_{e}$ ）的對偶空間 ${cal G}^{*}$ （同構於 $T_{e}^{*}$ ），取定 $T_{e}$ 中的一組基 ${ delta_1,delta_2,...,delta_m }$ 後，我們可以得到 $T_{e}^{*}$ 中的對偶基 ${ delta^1,delta^2,...,delta^m }$ ，再由同構誘導出 ${cal G}^{*}$ 的一組基 ${ omega^1,omega^2,...,omega^m }$ （稱為李群 $G$ 的Maurer-Cartan形式），這樣我們可以得到一個方程 $d omega ^i =-frac{1}{2} C_{jk}^{i} omega^j wedge omega^{k}$ ，，稱為李群 $G$ 的結構方程。利用方程我們可以計算出結構常數 $C_{ij}^{k}$ ，也就獲取了李代數（左不變切場）的信息。

綜上，我們更新一下結論：流形 $M$ 上的切場全體 $Gamma (T(M))$ 在李括弧下構成一個（線性）李代數 $(Gamma (T(M)),[,])$ ；李群的左不變切場全體 ${cal G}$ （又稱李群的李代數）在李括弧下構成一個 $m$ 維的（線性）李代數 $({cal G},[,])$ 。這樣，我們的任務便完成了2/4！

【四】單參數李氏變換群——再論流形上的切場以及李群上的左不變切場

【從全體到個體】從二、三兩章，我們知道了一般流形的切場全體與李群的左不變切場全體都是一個線性李代數。但這還不夠，我們要深入考慮一下這兩個切場全體中的元素——切場與左不變切場能不能和單參數變換群對應起來，以及切場全體上的李括弧有沒有更直觀的含義。

4.1特殊的李氏變換群——單參數李氏變換群

什麼是李氏變換群？在本文一開始或者群表示論一課中我們知道群作用的公式 $varphi :Gtimes Mrightarrow M$ ， $G$ 為一個群， $X$ 一般取一個幾何對象。特別地，在微分流形中，我們取 $M$ 為一個流形， $G$ 為一個李群，並且作用 $varphi$ 保持光滑性，這樣隱含了 $G$ 到 $Aut(M)$ （ $M$ 上全體自微分同胚構成的群）的同態，這樣， $G$ 中的每一個元素 $g$ 可以看成 $M$ 到 $M$ 的一個微分同胚。特別地，我們取 $G$ 為實數加群 $R$ ，這樣群作用變成了 $varphi :Rtimes Mrightarrow M$ ，稱為單參數李氏變換群。

註：在微分流形中，我們不過多展開一般的李氏變換群的內容（將在李群的表示中具體討論），只為了通過特殊的單參數李氏變換群更深入地了解一下切場的相關性質。

4.2 一般流形上，切場與單參數李氏變換群的相互誘導

有了上述的工具後，我們來深入研究下切場。

【單參數李氏變換群決定了切場】對固定的 $p in M$ ，記 $varphi _{t}=varphi (t,p)$ ，那麼在 $M$ 上有一條過 $p$ 的軌道 $gamma _{p}(t):=varphi _{t}$ ，也是 $M$ 上一條過 $p$ 點的一條參數曲線，由於 $varphi _0$ 是恆同變換，所以 $gamma _{p}(0)=p$ 。定義 $p$ 處的切向量 $X_{p}:=frac{d(gamma _{p}(t))}{dt} |_{t=0}$ （此時恰好滿足：如果 $q$ 在 $p$ 的軌道上，可設 $q=gamma _{p}(s)$ ，則 $X_{q}:=frac{d(gamma _{p}(t))}{dt} |_{t=s}$ ，且 $(varphi _{s})^{*}X_p=X_q$ ）讓 $p$ 跑遍 $M$ ，就有了 $M$ 上的一個切場 $X$ （可驗證具有光滑性）。這樣一個單參數李氏變換群 $varphi _{t}$ 就決定了 $M$ 上的一個切場 $X$ 。

【切場決定了局部單參數李氏變換群】那麼反問題是，給定 $M$ 上的一個切場 $X$ ，能不能決定作用在 $M$ 上的一個單參數李氏變換群呢？答案雖然是否定的，但是可以決定一個局部的單參數李氏變換群！即任一點 $p$ ，存在 $p$ 的鄰域 $U$ ，以及 $varepsilon >0$ ，使得 $varphi _{t}$ 為局部作用： $(-varepsilon ,varepsilon )times Urightarrow M$ ，並且 $varphi _{t}$ 在 $U$ 上誘導的經過 $p$ 的局部軌道是 $X$ 經過 $p$ 的一條局部積分曲線（ $X(r)=frac{dr}{dt}$ ），誘導的切場等於原切場 $X$ 在 $U$ 上的限制，並且這種誘導在局部上是唯一的。值得一提的是，如果 $M$ 是緊的流形，那麼可以利用開覆蓋定理證明 $M$ 上的任意切場可以決定 $M$ 上一個（整體的）單參數李氏變換群！

流形上的切場與單參數李氏變換群的誘導關係得出，這樣，我們任務完成了3/4！

4.3 切場全體中的李括弧運算的另一種含義——李導數

我們在上一章知道，流形上的切場全體 $Gamma (T(M))$ 關於李括弧 $[,]$ 構成一個（線性）李代數 $(Gamma (T(M)),[,])$ ，但是這個李括弧的定義太抽象，以至於我們無法獲取它的直觀含義。通過學習單參數李氏變換群，我們可以對這個李括弧有更深刻的認識。

【李導數】首先定義一種二元運算 $L_{()}():Gamma (T(M))times Gamma (T(M))rightarrow Gamma (T(M))$ ：對 $X$ 、 $Yin Gamma (T(M))$ ， $L_{X}Y:=lim_{t rightarrow 0}{frac{Y-(varphi _{t})_*Y}{t} } =lim_{t rightarrow 0}{frac{(varphi _{-t})_*Y-Y}{t} }$ ，稱為 $Y$ 關於 $X$ 的李導數，其中， $varphi _{t}$ 為 $X$ 誘導的局部單參數李氏變換群。 $Y$ 關於 $X$ 的李導數在 $p$ 點處的具體含義是：由 $X$ 在 $p$ 點誘導了一個局部單參數李氏變換群因而也誘導了過 $p$ 的局部軌道 $X_{p}(t)$ ，讓切場 $Y$ 限制在這條軌道上，那麼 $Y$ 關於 $X$ 在 $p$ 的李導數就是 $Y$ 沿軌道 $X_{p}(t)$ 在 $p$ 點處讓 $t$ 趨於0時的變化率，通俗一點講，就是 $Y$ 限制在 $X_{p}(t)$ 上無限靠近 $p$ 時的變化率。

畫個圖來直觀感受一下~

（廣義的李導數還可以延伸到一般的張量場上，即 $Gamma (T(M))times Gamma (T_{s}^{r}(M))rightarrow Gamma (T_{s}^{r}(M))$ ： $(X,xi )rightarrow L_{X}xi =lim_{t rightarrow 0}{frac{phi _t(xi)-xi}{t}} in Gamma (T_{s}^{r}(M))$ ，其中 $phi _t$ 為 $varphi _t$ 誘導的 $T_{s}^{r}(varphi _{t}(p))$ 與 $T_{s}^{r}(p)$ 間的同構；數量場 $f$ 關於 $X$ 的李導數規定為 $L_{X}f:=D_{X}f$ 。可以同樣理解為張量場 $xi$ 沿 $X_p$ 在點 $p$ 的變化率）

【切場上李導數與李括弧的等價】之前我們講到李括弧 $[,]$ 是切場全體 $Gamma (T(M))$ 上的二元運算，而剛剛我們定義的李導數 $L_{()}()$ 也是 $Gamma (T(M))$ 上的二元運算，這兩個運算有什麼關係呢？答案是可以證明兩者等價的。因此，流形 $M$ 上的切場全體和李群 $G$ 上的左不變切場全體構成的李代數 $(Gamma (T(M)),[,])$ 與 $({cal G},[,])$ 又可以寫成 $(Gamma (T(M)),L_{()}())$ 與 $({cal G},L_{()}())$ 。

4.4 李群上，左不變切場與單參數李氏變換群的相互誘導

【左不變切場決定了單參數李氏變換群】4.2節中我們知道，一般流形上的切場只能誘導局部的單參數李氏變換群，但是李群比一般流形性質好就好在李群 $G$ 上的左不變切場 $X$ 可以決定 $G$ 上（整體的）單參數李氏變換群 $varphi _{t}$ ！並且這個單參數變換群在單位元 $e$ 處的軌道 $gamma _{e}(t)$ 是 $G$ 的一條一維李子群（單參數子群）！同時， $X$ 在其它點 $p$ 的軌道 $gamma _{p}(t)$ 是由軌道 $gamma _{e}(t)$ 右作用在 $p$ 上生成的（ $gamma _{p}(t)=p cdot gamma _{e}(t)$ ），所以也稱左不變切場為無窮小右移動！

補充：如果李群 $G$ 的子群 $H$ 是一個李群，並且是 $G$ 的一個嵌入子流形，那麼稱 $H$ 為李群 $G$ 的一個李子群。

【指數映射】有了上述結論，我們不妨再深入看一看李代數 $T_e$ （同構於 ${cal G}$ ）和李群 $G$ 的關係。如何建立兩者之間的聯繫呢？我們考慮映射 $exp: T_{e}rightarrow G$ ，如下定義：對任意 $Xin T_e$ ，由於 $X$ 決定了 $G$ 的一條單參數子群 $sigma _{X}(t)=gamma _{e}(t)$ ，因此定義 $exp(X)=sigma _{X}(1)$ ，即把單位元切空間中的切向量（也可以看成切空間中的點）通過誘導的單參數子群映射到了 $G$ 中。並且還可以得出兩條結論：

1. 在局部上， $exp$ 是 $T_e$ 到 $G$ 的一個微分同胚（ $T_e$ 在零點的某個鄰域與 $G$ 在 $e$ 點的某個鄰域微分同胚）！

2. （第一類標準坐標系） $G$ 在 $e$ 處存在局部坐標系 $(U;u^{i})$ ，使得對 $X = sum_{j=1}^{r}{a^{j}frac{partial}{partial u^{j}}|_{e} } in T_e$ 所決定的單參數子群 $sigma _{X}(t)$ 限制在 $U$ 內有方程 $u^{i}(sigma _{X}(t))=ta^i$ 。

如圖：

因此， 在局部上指數映射把 $e$ 處切空間的點和 $e$ 鄰域內的點用同一個坐標一一對應了起來！

綜上，李群上的切場與單參數李氏變換群相互誘導也得出，任務完成4/4！

至此，我們對流形上的切場和李群上的左不變切場有了充分的認識，以及對流形上的切場全體和李群上的左不變切場全體也有了更深的理解！

用個圖來總結一下這篇文章的結論吧~