《恆星脈動》筆記二：一點微小的流體動力學

01-29

說來也奇怪，大學四年我們竟然沒有學過流體的相關知識。因為大一時的軍訓完全沒有佔用十一假期，所以最後力學就沒時間講完波和流體了，現在還記得包包老師痛心疾首的樣子。

恆星上的物質一般是等離子體，也是一種流體。因此流體的相關理論應該可以用到恆星上。之後也會發現，恆星的基本方程組也都是由流體的方程加上擾動推導而出。因此，流體動力學也是十分重要的！

對經典的物體來說，他的性質可以用位置 $mathbf{r}$ 和時間t來表徵。當然密度 $rho left( mathbf{r},t right)$ 和壓強 $pleft( mathbf{r},t right)$ 也是很重要的。

連續性

對於標量場 $phi left( mathbf{r},t right)$ ，有如下公式聯繫起了全導數，偏導數，梯度和速度的關係。

$begin{align}nfrac{mathrm{d} phi }{mathrm{d}t}&=left( frac{partial phi }{partial t} right)_mathbf{r} +left( frac{partial phi }{partial x} right)left( frac{partial x}{partial t} right) +left( frac{partial phi }{partial y} right)left( frac{partial y}{partial t} right) +left( frac{partial phi }{partial z} right)left( frac{partial z}{partial t} right) n&=left( frac{partial phi }{partial t} right)_mathbf{r}+nabla phicdot mathbf{v}~~~~~~~~~~~~~~(3.2)nend{align}$

對於一個體積內的物質，減少的質量應該等於相同時間內出去的質量

$frac{partial}{partial t}int rho mathrm{d}V=-int rho mathbf{v}cdot mathrm{d}mathbf{s}=-intnablaleft(rhomathbf{v}right)mathrm{d}V$

如果把V看得很微小很微小，那麼就有

$frac{partial rho}{partial t}+nabla left( rho mathbf{v} right) =0~~~~~~~~~~~~~~~(3.5)$ ，此為連續性方程，在以後會經常用到。

又因為 $nabla cdot left( rho mathbf{v} right)=nabla rho cdot mathbf{v}+rho nabla cdot mathbf{v}$

和(3.2): $frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}=frac{partial rho}{partial t}+nabla rho cdot mathbf{v}$

兩個一減，得出了個新方程 $frac{mathrm{d} rho}{mathrm{d} t}+rhonabla mathbf{v}=0~~~~~~(3.6)$

運動性

一小塊流體在歷史的進程中會怎麼運動呢？他一定會被周圍的流體擠壓，也可能會受到外力 $mathbf{F}=rhomathbf{f}$ 的作用。此時就要用牛頓第二定律了

$rho frac{mathrm{d}mathbf{v}}{mathrm{d}t}=-nabla p+rho mathbf{f}~~~~~~~~(3.8)$

一般來說，外力只考慮引力，不考慮磁場（其實是太難了考慮不了）： $mathbf{f}=mathbf{g}=-nabla Phi$

能量

對於單位質量的物質，熱力學第一定律告訴我們 $frac{mathrm{d} q}{mathrm{d}t}=frac{mathrm{d} E}{mathrm{d}t}+p frac{mathrm{d} V}{mathrm{d}t}$

其實就是正常的熱一律下面除了個時間微分。又因為 $V=1/rho$ ，結合(3.8)可以算出

$frac{mathrm{d}q}{mathrm{d}t}=frac{mathrm{d}E}{mathrm{d}t}-frac{p}{rho^2}frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}=frac{mathrm{d}E}{mathrm{d}t}+frac{p}{rho}nabla cdot mathbf{v}~~~~~~~~~~~(3.14)$

然後算算算，我也不知道為什麼要算算算，看意思是在研究恆星時，人們喜歡用壓強和密度做變數，往下N多行都在開盡腦洞把能量E用p和 $rho$ 來表示。

$mathrm{d}E=left( frac{partial E}{partial rho} right)_pmathrm{d}rho+ left( frac{partial E}{partial p} right)_rhomathrm{d}p~~~~~~~~~~(1)$

帶回(3.14)

$mathrm{d}q=left( frac{partial E}{partial p} right)_rhomathrm{d}p+left[ left( frac{partial E}{partial rho} right)_p-frac{p}{rho^2}right]mathrm{d}rho~~~~~~~~~~(2)$

把上式看成絕熱的，即 $mathrm{d}q=0$ ，帶回就有

$mathrm{d}q=left( frac{partial E}{partial p} right)_rho mathrm{d}p-left(frac{partial E}{partial p} right)_rho left( frac{partial p}{partial rho} right)_mathrm{ad} mathrm{d}rho=left( frac{partial E}{partial p} right)_rho left[ mathrm{d}p-left( frac{partial p}{partial rho} right)_mathrm{ad}mathrm{d}rho right] ~~~~~~~~~~(3)$

$mathrm{d}s=left( frac{partial s}{partial p} right)_rho mathrm{d}p+ left( frac{partial s}{partial rho} right)_p mathrm{d}rho~~~~~~~~~(4)$

$mathrm{d}E=Tmathrm{d}s+frac{p}{rho^2}mathrm{d}rho=Tleft( frac{partial s}{partial p} right)_rho mathrm{d}p+ left[Tleft( frac{partial s}{partial rho} right)_p +frac{p}{rho^2}right]mathrm{d}rho~~~~~~~~~~(5)$

(5)和(1)一對比，就發現了個驚天秘密

$Tleft( frac{partial s}{partial rho}right)_p+frac{p}{rho^2} =left( frac{partial E}{partial rho} right)_p ,~Tleft( frac{partial s}{partial p} right) _rho=left( frac{partial E}{partial p} right)_rho ~~~~~~~~~~(6)$

繼續開腦洞

$mathrm{d}E=left( frac{partial E}{partial s} right)_rhomathrm{d}s +left(frac{partial E}{partial rho} right)_{mathrm{ad}}mathrm{d}rho~~~~~~~~~(7)$

和(5)對比，又發現了個驚天秘密

$left( frac{partial E}{partial s} right)_rho=T,~left( frac{partial E}{partial rho} right)_mathrm{ad}=frac{p}{rho^2} ~~~~~~(8)$

然後物理學家耍個流氓，這函數就是二階偏導連續你咬我啊

$frac{partial^2E}{partial rho partial s}=left( frac{partial T}{partial rho} right)_mathrm{ad}=frac{1}{rho^2}left( frac{partial p}{partial s} right)_rho=frac{partial^2E}{partial s partial rho}~~~~~~~~~~(9)n$

帶入(6)

$left( frac{partial E}{partial p} right)_rho=frac{T}{rho^2}left( frac{partial rho}{partial T} right)_mathrm{ad}$

就可以把(3)弄成書上的樣子了

$begin{align}nfrac{mathrm{d}q}{mathrm{d}t}&=frac{1}{rholeft(Gamma_3-1 right) }left( frac{mathrm{d}p}{mathrm{d}t}-frac{Gamma_1p}{rho}frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t} right) ~~~~~~~~~(3.15)n&=c_pleft( frac{mathrm{d}T}{mathrm{d}t}-frac{Gamma_2-1}{Gamma_2}frac{T}{p}frac{mathrm{d}p}{mathrm{d}t} right) ~~~~~~~~~~~~(3.16)n&=c_Vleft( frac{mathrm{d}T}{mathrm{d}t} -left( Gamma_3-1 right)frac{T}{rho}frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t} right) ~~~~~~~~~(3.17)nend{align}$

其中 $Gamma_3-1=left( frac{partial ln T}{partial ln rho} right)_mathrm{ad}$ , $Gamma_1=left( frac{partial ln p}{partial ln rho} right)_{mathrm{ad}}$ , $frac{Gamma_2-1}{Gamma_2}=left( frac{partial ln T}{partial ln p} right) _mathrm{ad}$

書從(1)到(9)就完全沒有，直接跳下來的，醉= =

但我也沒有寫(3.16)和(3.17)，懶= =

對於單位質量的物體，熱量變化等於單位質量的產能率 $epsilon$ 加上熱流 $mathbf{F}$ 的變化

$rho frac{mathrm{d}q}{mathrm{d}t}=rho epsilon -nabla cdot mathbf{F}~~~~~~~~~(3.21)$

平衡態和擾動分析

對於平衡態，所有的物理量都有個下標0，比如 $rho_0,~p_0$ 等。並且他們都不隨時間而變。

牛頓第二定律(3.8)就可以寫成

$nabla p_0=rho_0mathbf{g}_0=-rho_0 nabla Phi_0~~~~~~~~~~~(3.31)$

而產能的方程(3.21）就是

$epsilon_0=frac{1}{rho_0}nabla cdot mathbf{F}_0~~~~~~~~~~~(3.32)$

再考慮到恆星的球對稱情況， $nabla=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}r}$ ，就可以推導出四個基本方程了。

擾動

接下來才是恆星振動的重頭戲，如何把方程做擾動然後解出合理的波動解來。

擾動方法有兩個，一個是歐拉擾動，認為氣體在原地 $left( mathbf{r}=mathbf{r}_0 right)$ 有一個微小的變化，比如壓力

$pleft( mathbf{r},t right)=p_0left( mathbf{r} right) +p(mathbf{r},t)$

還有一個就是拉格朗日擾動，他的思想就是認為氣體從 $mathbf{r}_0$ 移動到了 $mathbf{r}_0+mathbf{delta r}$ 上，注意 $delta$ 並不是微分的意思，他倆就是一個整體的符號。

$delta pleft( mathbf{r} right) = pleft( mathbf{r}_0+mathbf{delta r} right) -p_0left( mathbf{r}_0 right)$

擾動項一般只保留一階，比如上式等號右邊第一項就成了 $pleft( mathbf{r}_0+mathbf{delta r} right)=pleft(mathbf{r}_0 right) +mathbf{delta r}cdot nabla p_0-p_0left( mathbf{r}_0 right)$

所以 $delta pleft( mathbf{r} right) =pleft( mathbf{r}_0 right) +mathbf{delta r}cdot nabla p_0~~~~~~~~~~(3.38)$

可以發現，拉格朗日擾動里其實包括了歐拉擾動，即物理量先從原地不動，變化個小量，然後從原地移動個小步伐，又變化個小量。

擾動的速度就是 $mathbf{v}=frac{partial mathbf{delta r}}{partial t}$ ，所以這個 $mathbf{delta r}$ 並不是小量，只是普通的一小段位移。

連續性方程(3.5)中，帶入 $rho =rho_0+rho$ ，平衡態不隨時間變化，小量的散度忽略，於是

$frac{partial rho}{partial t}+nabla left( rho_0mathbf{v} right) =0~~~~~~~~~~~(3.40)$

對時間積分， $rho+nabla left( rho_0mathbf{delta r} right) =0~~~~~~~~~~~(3.41)$

對密度，也有(3.38)的結果 $delta rho left( mathbf{r} right) =rho left( mathbf{r}_0 right) +mathbf{delta r}cdot nabla rho _0$ ，又因為 $nablaleft( rho_0mathbf{delta r}right) =nabla rho_0cdot mathbf{delta r}+rho_0nabla cdot mathbf{delta r}$ ，和(3.41)一減，就有

$delta rho +rho_0nabla cdot mathbf{delta r}=0~~~~~~~~~~~(3.42)$

重力加速度也可以分解成平衡項和擾動項

$mathbf{g}=mathbf{g}_0+mathbf{g}$

帶回牛頓第二定律方程(3.8)，就有

$left( rho_0+rho right)frac{partial ^2 mathbf{delta r} }{partial t^2}=-nabla left( p_0+p right) +left( rho_0+rho right)left( mathbf{g}_0+mathbf{g} right)$

等號左邊，擾動加速度相對小，忽略二階小量的話就只剩一個 $rho_0$ ；等號右邊，對平衡態 $-nabla p_0+rho_0mathbf{g}_0=0$ ，再忽略二階小量 $rhomathbf{g}$ ，就有

$rho_0 frac{partial ^2 mathbf{delta r} }{partial t^2}=-nabla p+rho_0mathbf{g}+rhomathbf{g}_0~~~~~~~~~~~~(3.43)$

還有一個能量方程，要稍微費點心機

$frac{mathrm{d}p}{mathrm{d}t}=frac{partial p}{partial t}+mathbf{v}cdot nabla p$

開篇第一個式子是也。然後發現 $frac{partial p_0}{partial t}=0$ ， $mathbf{v}cdot nabla p$ 是二階小量，就有

$frac{mathrm{d}p}{mathrm{d}t}=frac{mathrm{d}p}{mathrm{d}t}=frac{partial p}{partial t}+mathbf{v}cdot nabla p_0=frac{partial }{partial t}left( p+mathbf{delta r}cdot nabla p_0 right) =frac{partial }{partial t}left( delta p right)$

原來在一階近似下，對時間的偏導和對時間的全導，歐拉擾動和拉格朗日擾動，統統沒有區別啊~

於是(3.15)就可以寫成這樣

$frac{partial delta q}{partial t}=frac{1}{rho_0left( Gamma_{3,0}-1 right) }left( frac{partial delta p}{partial t} -frac{Gamma_{1,0}p_0}{rho_0}frac{partial delta rho}{partial t}right) ~~~~~~~~~~(3.47)$

(3.21)就寫成了

$rho_0frac{partial delta q}{partial t}=deltaleft( rhoepsilon-nabla mathbf{F} right) =left( rhoepsilon-nabla mathbf{F} right) ~~~~~~~~~~(3.48)$

簡諧波(Simple waves)

聲波：在運動方程(3.43)中忽略了重力，重力擾動，再把(3.47)改成絕熱的樣子，於是就有 $rho_0frac{partial^2mathbf{delta r}}{partial t^2}=-nabla p$

因為是壓力做回復力，和聲音一樣，因此叫聲波。

兩邊再取散度

$rho_0frac{partial^2nabla cdot mathbf{delta r}}{partial t^2}=-nabla ^2 p$

用(3.41)可以把 $mathbf{delta r}$ 換掉 $rho_0nabla cdot mathbf{delta r}=-rho$ ，用(3.47)能把p也換掉，於是

$frac{partial ^2 rho}{partial t ^2}=frac{Gamma_{1,0}p_0}{rho_0}nabla ^2 rho~~~~~~~~~~~~~~(3.51)$

終於弄出了一個波動方程！原來我們考慮了連續性方程，牛頓第二定律和熱力學第一定律後，再做擾動，就可以解出波動方程，從而解釋了恆星振動的原因。

不只有聲波，還有內部重力波和表面重力波，這裡就不再說了。