群體智慧、朋友悖論和白血病（一）

題外話：上次寫文章竟然已經是7天前了……這樣下去要變成周記本了……

幾年前有一本暢銷書The Wisdom of Crowds，中文譯名叫《群體的智慧》。即使你沒有看過這本書，也一定聽說過這個故事：

作者在本書開篇講述了一個軼聞，是法蘭西斯·高爾頓（Francis Galton）對所述觀點的支持：一個郡縣裡，全體社區成員對公牛重量估測的平均數十分接近真實值甚至是相當準確無誤的。而這個平均數要比大多數成員的估量更接近牛的真實重量，也比任何一個熟悉牛的行家所作的單獨存在的推測接近真實量。

那麼為什麼會出現這樣的現象呢？我們可以用一些數理統計的手段：

假定現在有n個人估計一個隨機變數X，每個人對這個隨機變數X的猜測值記為Xi，誤差Xi-X服從一個期望為Δi，方差有限（不妨假定有公共上界C）的分布，而Δi又服從一個期望為0（方差無所謂）的分布，那麼最後猜測值的平均值是什麼分布呢？

由辛欽大數律，Δi的均值以概率1收斂於期望值0；由切比雪夫大數律，誤差Xi-X的均值以概率1收斂於期望值Δi的均值；由此可知誤差Xi-X的均值以概率1收斂於0（以防數學系同學覺得我這裡跳步驟，這裡我用了Bonferroni不等式），那麼猜測值Xi的均值就以概率1收斂於X。用大白話說，當n充分大時，誤差幾乎一定為0。

再舉一個（虛構的）選舉的例子。假如一個村莊中有100位普通村民，需要從兩位候選人A和B當中投票選出一位村長（注意A和B不算普通村民，就是一共有100票），獲多數票的當選（平票則抽籤）。村民當中有90位是啥都不懂的樸實農民，他們以50%的概率選A或B；而有10位是關心村子發展大事的讀書人，他們知道候選人A比候選人B更好，所以一定會投A。那麼，最後候選人A當選的概率是多少呢？

在90位啥都不懂的農民的選票中，A只需要拿到40票以上就能獲勝，我們用正態分布來擬合一下二項分布，90位農民中投給A的票數近似服從分布N(90*1/2，90*1/4)，也就是N(45,45/2)，那麼A拿到40票以下的概率大概就是Φ(-5/√(45/2))≈0.145，也就是說A當選的幾率達到了85.5%。

這個例子是想說明，即使大多數人是在隨機選擇，只要有一部分人獲得了正確的信息，那麼從整個群體的角度來看，正確信息脫穎而出的概率是大大提高的。（當然，你們非要說這是操縱選舉的例子我也沒辦法）

上面好像扯了太多數學，回到經濟學的範疇。經濟學帝國主義的開創者Gary Becker曾經舉過這樣一個例子來說明群體的智慧（群體的理性？）：

假如我們現在找來一群沒事幹的傢伙（準確地說我們需要a continuum of individuals，就理解為充分多個好了），給他們每人發了30塊錢去買水果。水果有兩種，蘋果2塊錢一斤，梨3塊錢一斤（只是舉例……），所以他們最多買15斤蘋果或者10斤梨。我們姑且不考慮這些人的偏好，就假定他們均勻地分布在所有可能的購買方案上（不能買負數斤的水果，而且所有錢要花完），比如有人買了2斤梨和12斤蘋果，有人買了π斤梨和15-3π/2斤蘋果，還有人全部買梨買了10斤。那麼平均來說，他們買了多少蘋果和多少梨呢？應該是7.5斤蘋果和5斤梨。

就在他們買完水果，還沒有開始吃的時候，市場價格突然發生劇烈波動，現在梨只賣1塊錢一斤了（蘋果還是2塊錢一斤），這時候每個人的預算曲線都發生了變化：買的梨越多，財富縮水得越厲害，買了10斤梨的傢伙，本來可以用10斤梨換最多15斤蘋果，現在只能換最多5斤蘋果（雖然用了換這個詞，但請注意他們不是互相進行交換，完全競爭市場上有無數的水果賣家和買家），而買了15斤蘋果的現在可以換最多30斤梨。我們還是不考慮這些人的偏好，假設每個人還是隨機地在新的預算線上均勻地分布（注意a continuum of individuals保證了永遠有無數個人選擇任何一個方案），也就是說，在價格變化前買了10斤梨的（無數個）傢伙現在均勻地分布在10斤梨和5斤蘋果的任意一個組合上，而買了15斤蘋果的（無數個）傢伙現在均勻地分布在15斤蘋果和30斤梨的任意一個組合上。那麼，現在平均他們買了多少蘋果和多少梨呢？應該是5斤蘋果和10斤梨（注意就是處於原來的平均值的那些人在價格變化後選擇的平均值）。

那麼這說明了什麼呢？實際上Becker的觀點是，在梨的價格發生變化前後，群體平均購買的商品組合是符合理性個體的行為的：對於一個理性人來說，由於梨的價格下降，收入效應說明我們應該多買蘋果多買梨，替代效應說明我們應該少買蘋果多買梨，所以多買梨是一定的，我們可以考慮從價格變化前的稟賦出發來決定價格變化後的最優選擇，可以看出此時應該比價格變化前多買梨少買蘋果，而不是少買梨多買蘋果（違反了WARP, Weak Axiom of Revealed Preference）。

從維基百科借張圖來說明一下：

(Photo Credit: "Weak Axiom of Revealed Preference" by Masalih via Wikipedia)

假定x是蘋果，y是梨，一開始的預算是藍色線B，此時理性人根據自己的偏好選擇了a點，這說明，藍色預算線以內的部分，理性人都覺得不如a點好；那麼當梨的價格發生變化後，預算線變成綠色線B，此時理性人根據自己的偏好（當然我們要假定效用函數長得很「正常」）應該選擇B這條線在a左上方的部分，如果他選擇了B『這條線在a右下方的部分，就和他之前的選擇產生了矛盾。而Becker的例子說明，即使是完全隨機胡亂購買的群體，他們平均所購買的商品也遵循WARP，換言之也算是理性的。

（未完待續）

(Photo Credit: Visualhunt (CC0 Public Domain))

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