《恆星脈動》筆記一：觀測數據的傅立葉變換

01-29

專欄的第一篇文章終於來啦！

《恆星脈動》筆記系列記載的是學習Jorgen Christensen-Dalsgaard的「Stellar Oscillations」時遇到的有意思的事情。這本書很詳細地說明了星震學的相關知識，做為一個小白，我還是要學習一個啊。

好了，現在開始講述第二章里傅立葉變換的東西。

如果有小夥伴用period04或者別的相關函數做過傅立葉變換的話，可能都會想：為毛會有那些旁瓣？為什麼那麼丑？以下就用數學來證明，實際觀測數據的傅立葉變換就是那個樣子的。

有限長的時間序列

假設有一個時間序列

$nu left( t right)=a_0 cosleft( omega_0 t-delta_0 right)$

對它做傅立葉變換，然而你只從0到T觀測了一小段時間

$mu left( omega right)=int_0^Tnu (t)e^{iomega t}mathrm{d}t$

到這就遇到了一個問題，為啥高數書上的傅立葉變換是 $mu^* left( omega right)=int_0^Tnu (t)e^{-iomega t}mathrm{d}t$ 呢？

其實，這並不影響物理上的應用，因為我們最後得到的是功率譜 $P(omega)=left| muright|=left| int_0^Tnu (t)e^{iomega t}mathrm{d}t right|=left| int_0^Tnu (t)e^{iomega t}mathrm{d}(-t) right|=left| -int_0^Tnu (t)e^{-iomega t^*}mathrm{d}t^* right|=left| mu^* right|$

看，一樣的= =

好了繼續算

$begin{align}nmu left( omega right)&=int_0^Tnu (t)e^{iomega t}mathrm{d}t=frac{1}{2}a_0int_0^Tleft[ e^{i(omega_o-delta_0)} + e^{-i(omega_o-delta_0)} right] e^{iomega t}mathrm{d}tn&=frac{1}{2}a_0left{ frac{e^{-idelta_0}}{ileft( omega+omega_0 right) }left[ e^{ileft( omega+omega_0 right)T }-1 right] +frac{e^{idelta_0}}{ileft( omega-omega_0 right) }left[ e^{ileft( omega-omega_0 right)T }-1 right] right} n&=a_0left{ e^{ileft[ T/2left( omega+omega_0 right)-delta_0 right] } frac{sinleft[ T/2left( omega+omega_0 right) right] }{omega+omega_0} +e^{ileft[ T/2left( omega-omega_0 right)+delta_0 right] } frac{sinleft[ T/2left( omega-omega_0 right) right] }{omega-omega_0} right} nend{align}$

最後結果是

$mu(omega)=frac{T}{2}a_0left{ e^{ileft[ T/2left( omega+omega_0 right) -delta_0 right] }mathrm{sinc}left[ frac{T}{2}left( omega+omega_0 right) right] +e^{ileft[ T/2left( omega-omega_0 right)+delta_0 right] }mathrm{sinc}left[ frac{T}{2}left( omega-omega_0 right) right] right}$

來求 $Pleft( omega right) =left| muleft( omega right) right|$ 吧騷年。。可能好多小夥伴感覺太複雜了求不了啊，我當時也想了半天，終於明白，原來如果 $omega$ 是正數，且離 $-omega_0$ 足夠遠，那麼 $mathrm{sinc}left[ frac{T}{2}left( omega+omega_0 right) right]approx 0$ ，於是少了一大項。是不是很有心機？

$Pleft( omega right) simeq frac{1}{4}T^2a_0^2mathrm{sinc^2}left[ frac{T}{2}left( omega-omega_0 right) right]$

畫出來是這個樣子的

已經有一些神韻了！

現在討論一下信號的解析度， $mathrm{sinc}^2x$ 的半高全寬大概是 $0.443pi$ ，取 $0.5pi$ 比較好算，如果兩個峰相距 $0.5pi$ ，就認為能完全分開，所以有如下式子

$frac{T}{2}~frac{delta omega}{2}simeq frac{pi}{2},~~~~delta nu=frac{delta omega}{2pi}simeq frac{1}{T}$

所以對於長度為 $T$ 的信號，可分辨的最小的頻率間隔是 $frac{1}{T}$ 。

有間隔的時間序列

因為日升日落，白天就是看不了星星，所以我們的觀測數據都是有間隔的。比如兩段數據： $begin{align}nmuleft( omega right)&= int_0^Tnuleft( t right) e^{iomega t}mathrm{d}t + int_tau^{tau+T}nuleft( t right) e^{iomega t}mathrm{d}tn&simeq frac{T}{2}a_0left{ e^{ileft[ frac{T}{2}left( omega-omega_0 right) +delta_0 right] } + e^{ileft[left(tau+ frac{T}{2}right)left( omega-omega_0 right) +delta_0 right] } right} mathrm{sinc}left[ frac{T}{2}left( omega-omega_0 right) right] n&=Ta_0e^{ileft[ 1/2left( tau+T right) left( omega-omega_0 right) +delta_0 right] }cosleft[ frac{tau}{2}left( omega-omega_0 right) right] mathrm{sinc}left[ frac{T}{2}left( omega-omega_0 right) right] nend{align}$

直接用上一節的公式，把 $omega+omega_0$ 那一項捨去，再平移 $tau$ 即可。

取模後就是功率

$Pleft( omega right) =T^2a_0^2cos^2left[ frac{tau}{2}left( omega-omega_0 right) right] mathrm{sinc^2}left[ frac{T}{2}left( omega-omega_0 right) right]$

原來有了個間隔後，好好的 $mathrm{sinc^2}$ 函數就會被一個 $cos^2$ 調製，於是就成了這個樣子：

越來越像真實的情況了！