如何通俗地介紹一下全部三次數學危機？

01-29

討論一下 @Dr How 提出的如下問題：

將無理數、無窮小量和羅素悖論稱作「三次數學危機」的說法，除中文互聯網內廣泛流傳之外，在英語世界幾乎找不到（英語是學術通用語）。中文互聯網上普遍沒有引用來源，我最多只能追到幾本所謂「科普」書籍就斷了。

「三次數學危機」的說法，看上去實在是有點生搬硬套，並不像是嚴肅的數學史研究結論。

我的看法是：

1、「不可公度性和無窮小演算導致數學危機」的說法並非毫無根據，但它是某種已經被學界拒斥的編史態度的產物，因此在今天的英語學界不多見。

2、中文語境中「三次數學危機」一說的形成有著列寧主義辯證法的背景，它的流行是數學史服從於政治意識形態的後果。

3、儘管如此，也不能簡單地認為「三次數學危機」這個說法毫無意義，我們只是需要轉變一下提問方式。

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1、正如另一個匿名答案指出的，儘管歐美學界可能沒有明確地把不可公度性、無窮小演算和集合論悖論的後果合起來稱為「三次數學危機」，但是將它們分別稱為「危機」的數學史文獻是存在的。我補充一個不可公度性的例子：D. J. Struik在1954年的《數學簡史》（A Concise History of Mathematics）中稱，不可公度性的發現和芝諾悖論引起了希臘數學的危機，在後來的修訂版中，Struik又援引了H. Freudenthal 1966年的文章「古代是否有過數學基礎的危機？」（"Y Avait-Il une Crise des Fondements des Mathématiques Dans L』Antiquité?"）一文來支持這一說法。

C. B. Boyer在1968年的《數學史》（A history of mathematics）中也說不可公度性的發現引起了危機。Struik和Boyer的書都是被長期使用的數學史教材，出過多個修訂版，有不小的影響力。 @曉雷答案中的主要故事要素，在這些教材中都能找到。比如「邏輯醜聞」在Struik的書中就有，引用的是希臘數學史的祖師爺Paul Tannery講的「名副其實的邏輯醜聞」（un véritable scandale logique），出自1887年的《希臘幾何學》（La géométrie grecque）一書。

至於為什麼上述說法在今天的英語世界中不多見，我的看法是，這種說法應該是數學史學科誕生初期，即19世紀末至20世紀50~60年代的產物。當時英語還不是世界學術通用語，法語、德語也都各有地位，尤其德語的地位曾一度相當於今天的英語。因此早期數學史文獻也是多為法語、德語等語言。而等到英語在世界學術界取得絕對優勢的時候，上述說法已經不再流行了。

早期的數學史研究並不獨立，一般從屬於數學系。當時撰寫數學史的多為數學家，缺少史學訓練，不太理解史學的目標和意義。他們撰寫數學史往往是為了支持自己的元數學主張，替自己的主張尋找「歷史根據」。他們傾向於在歷史中找出一個固有的趨勢，把整個數學史刻畫成一直朝著他們自己所代表的數學理念不斷進步的過程。抱著這樣的心態去撰寫數學史，就不可避免地把現代人的觀念強加於古人。例如主張數學結構是整個數學的核心，就說自古以來的數學工作「實際上」都是在不斷構造更抽象、更嚴密的數學結構；主張數學需要有新的基礎，就說整個數學史都在力求建設更可靠的基礎，如此等等。另一個匿名答案中提到的H. Hasse, H. Scholz, B.
L. van der Waerden, A. A.
Fraenkel等人，還有布爾巴基小組的一些人，都是這種編史態度的典型代表。數學系的同學對這些名字應該不會感到陌生，他們都是數學上頗有建樹的大數學家，20世紀數學的奠基人。也正是他們最熱衷於用現代數學觀念去重構古代人的數學工作。在這種思路下，把19世紀末20世紀初的人在構建數學基礎時感受到的「危機」挪用到古代，就變得順理成章了——既然現代數學的基礎遭遇了「危機」，那麼也理應去討論古代數學的「基礎」是否遭遇過「危機」。

60~70年代是英語隨著美國的世界主導地位的確立而在整個世界學術界開始取得優勢地位的時期，也正好是數學史開始謀求學科自主性的時期。這一代的數學史家對上述編史態度有了自覺的反思，認識到這種寫法屬於早已被歷史學家批評過的「輝格式解釋」，是史學研究應該力求避免的。比如Wilbur Knorr在1975年科學史學會年會上的演講「現代數學對古代數學的衝擊」（"The Impact of Modern Mathematics on Ancient Mathematics"）就以「不可公度性引發希臘數學危機」為靶子，全面反思了上述編史態度，逐一批評了上文提到的多位數學史家。在這樣的風潮下，「古代的數學危機」一說就越來越不受待見，沒能在此後英語主導的學術界繼續佔有一席之地。

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2、中文文章直接出現「第……次數學危機」的，我能找到的最早一篇是1974年《數學的實踐與認識》第四期刊登的天津市教師進修學院數學系工人學員孫富元的文章「我的一些看法」。文中說「眾所周知，數學史上產生過多次『數學危機』」，又談到了「由無理數的產生而引起的數學史上第一次『數學危機』」。由這冰山一角可以推測，很可能在70年代，國內數學系的數學史教學就已經把「三次（或多次）數學危機」的說法當成普遍共識來講授了。考慮到在這個時間點之前，國內能夠接觸到的外國學術文獻大多來自蘇聯，建議搜索一下俄語的數學史或數學哲學文獻，或國內對俄語文獻的編譯，也許就能找到這一說法的直接源頭。

但不管源頭在哪，至少有一點可以肯定：「三次數學危機」這個說法是在貫徹「革命導師列寧的重要指示」——「辯證法內容的這一方面【指對立統一】的正確性必須由科學史來檢驗」的大背景下，將列寧主義的「一切事物發展的規律是對立面的鬥爭」應用於數學史的結果。上面孫富元的文章說，列寧在《唯物主義和經驗批判主義》中對「物理學危機」的本質的揭示也適用於「數學危機」，這很可能也是當時數學史教學中的老生常談，因為這一說法早在1952年《科學通報》第七期和《中國數學雜誌》第三期刊登的一篇譯文「列寧的辯證法和數學」中已經明確提出。

這篇譯自蘇聯《自然》雜誌的文章雖然只提及了「資產階級社會中」的「數學危機」，並未出現「三次數學危機」的說法，也沒有將「數學危機」一詞用於古代，但是，它為了論證「數學完全證實了列寧的思想」，論證「對立的鬥爭是數學發展的規律」，而把不可公度性的發現和17世紀無窮小問題，以及黎曼、康托爾、戴德金的工作，還有解析幾何、數學分析、泛函分析、拓撲學、近世代數等，全都解釋為連續性與離散性這一組對立面的統一與鬥爭的結果，並指出還有其它幾組基本的對立，它們的鬥爭也都推動著數學的發展，整個數學史就是對立面輪流佔上風的螺旋式上升過程。

沿著這個思路只要再多走一步，自然就會得到「三次數學危機」的說法。既然當代的數學危機是對立面鬥爭的激化，而鬥爭又貫穿了整個數學史，那麼古代數學中必定也有「危機」。而且，既然整個數學史構成了一個螺旋上升的過程，那麼不同的危機就不能分開來談論，而必須把每一次危機視為上一次危機的更高階段。因此，給「數學危機」加上「第一次」「第二次」這樣的修飾，把歷次「危機」串聯成數學發展的一條主線，也就成為必要。

這種賦予歷史一個「發展規律」的思路比前述的輝格式解釋更加輝格。「輝格式解釋」這個說法本來只是借用政治史的典故來揭示科學史研究中的類似錯誤傾向，而「對立鬥爭是數學發展的規律」則乾脆回歸到了政治，它不是單純的數學史命題，而是有著明確的政治指向。列寧主義的辯證法絕不會將「鬥爭」的含義局限在觀念的邏輯關係上，它認為觀念上的鬥爭必然進一步體現為唯物主義和唯心主義的路線鬥爭，體現為進步階級與反動階級的政治鬥爭。當反動階級堅守反動路線，頑固反抗，遲遲不被打倒，鬥爭就激化成「危機」。既然是歷史的「必然規律」，那麼「數學危機」當然也不能例外。於是討論「數學危機」就成了「打擊反動派」的重要政治任務，數學史變成了政治意識形態的工具。「三次數學危機」之說很可能就是在意識形態的要求下得到了全面普及。

進入80年代後，國內數學史研究逐漸洗刷掉了意識形態色彩，但仍然對自身依據的編史原則缺乏足夠的反思。1980年莫紹揆的「數學三次危機與數理邏輯」一文雖然已經不再按辯證法的「對立統一」意義使用「矛盾」一詞，但仍然沿用了「危機推動發展」的套路。1985年胡作玄的《第三次數學危機》一書仍然把「矛盾鬥爭是事物發展的歷史動力」奉為「基本原理」。該書中段主體部分還是比較單純的數學科普，但一頭一尾都在重複著「矛盾激化產生危機，危機引起革命性發展」的套話。由於把史學的任務當成尋找「趨勢」或「規律」的觀念一直沒有受到反思，以它為根基的「三次數學危機」一說當然也就不會受到重新審視。

國內數學史研究至今仍然有很大一部分僅服務於數學教學，很少思考數學史作為一門獨立史學學科的意義是什麼；也不重視對西方數學史的研究，認為中國人只適合研究中國數學史。缺少史學自覺和原創性研究的後果之一，就是在數學史教學和科普中總是習慣性地沿用早先形成的固定說法，從不考慮這些說法是不是有問題。

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3、不過話說回來，儘管「第一次、第二次數學危機」的說法是在有毛病的編史原則下形成的，但「出身不好」並不足以證明它毫無價值。早期數學史家的確在不可公度性和無窮小問題中看到了某種值得思考的東西，他們只是以錯誤的方式表達了這一洞見。只要我們認識到史學的真正任務，今天仍然可以把這一說法以有意義的方式重新提出。

史學不應將過去當作一種業已完成的「發展運動」來描繪其圖像，尋找其「趨勢」或「規律」。史學工作是在跟仍然活著的「過去」面對面地交談，而不是在陳列「過去」的化石、解剖「過去」的冰冷屍體。那些真正死掉的、已經徹底無法對話的東西，根本就不會進入我們的視野，不會被我們視為自身歷史的一部分。「過去」之所以是歷史，不是因為它在時間軸上排列在「當下」之前，而是因為它與當下始終處在永不停息的相互構造活動之中，這一活動才是歷史本身，是史學的真正研究對象。早期數學史家雖然對這種構造活動有所領會，但他們只把握到了一半，他們把過去當成完全被動的材料，只能毫無反抗地接受當下的構造。其結果是把當下的投影誤認成歷史本身，完全遮蔽了過去。今天史學的關鍵任務就是要解除這種遮蔽，重新發現我們自己身上活著的過去，有意識地主動與之對話，讓過去未能充分展開的某些方面在當下的新環境中重新萌芽，生長出新的果實，從而更新我們對自身的理解。簡言之，史學最終不是為了認識「客觀的」過去，而是為了認識當下的我們自己。

澄清了史學的任務，我們就知道該如何轉變問題的提法了。對於「三次數學危機」這個說法，我們應該問的不是「古希臘和17世紀有沒有發生數學危機」，而應該問：為什麼在古代人未必覺得有危機的地方，19世紀末20世紀初的數學家卻從中看到了危機？為什麼他們在尋找危機時總會把目光聚焦在不可公度性和無窮小問題上而不是別的地方？他們對不可公度性和無窮小的這種危機式的詮釋如何影響了他們對當時數學基礎之爭的理解？他們對數學基礎危機的這種理解又是怎樣影響了他們的數學實踐，進而塑造了整個20世紀數學，塑造了今天我們心目中數學的總體形象？

我無法在此給出這些問題的答案。不過我相信，像這樣的追問將引導我們去重新審視、進而重新塑造今天對數學的總體理解，而這種基礎觀念的更新，是開啟新視野、開闢新思路的必經之道。我還相信，以上所說的不止適用於數學，也適用於人類歷史的一切方面。德爾菲神廟「認識你自己」的箴言，理應鐫刻在每一位史學工作者的案頭。

數學史和數學哲學上確實有「The Three Crises in Mathematics」的說法，但並不是歷史上的三次危機，而是指 19 世紀末 20 世紀初，三個數學哲學流派（邏輯主義、直覺主義和形式主義）都在解釋數學基礎的問題上遇到困難。因此這是同一時期的三個數學危機。相關綜述見美國數學學會的獲獎論文：The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism

將無理數、無窮小量和羅素悖論稱作「三次數學危機」的說法，除中文互聯網內廣泛流傳之外，在英語世界幾乎找不到（英語是學術通用語）。中文互聯網上普遍沒有引用來源，我最多只能追到幾本所謂「科普」書籍就斷了。最後我找到一個葡語人士在私人網站用英語描述了「三次數學危機」，追到的論文是 IEEE Xplore Abstract。該文沒有引用，也幾乎沒有被引用過，作者來自 McDonnell Douglas Corporation，似乎不是學術圈中人。

「三次數學危機」的說法，看上去實在是有點生搬硬套，並不像是嚴肅的數學史研究結論。事實上，我不認為無理數和無窮小量稱得上是危機。如果有人能找到靠譜文獻支持這種說法，我感激不盡。

感謝匿名用戶的文獻查找工作，得知確實有人曾經將無理數視做數學基礎的危機，不過這種看法已經被拋棄了。德語維基上的原話是這樣的（Geschichte der Mathematik a€「 Wikipedia）：

Die früher verbreitete Ansicht, dass die Entdeckung der Irrationalit?t bei den Pythagoreern eine philosophische ?Grundlagenkrise「 ausl?ste, da sie ihre früheren überzeugungen erschütterte, wird jedoch von der heutigen Forschung verworfen. Die antike Legende, wonach Hippasos Geheimnisverrat beging, indem er seine Entdeckung ver?ffentlichte, soll aus einem Missverst?ndnis entstanden sein.

大意翻譯一下：「之前流傳的觀點認為，無理數的發現對畢達哥拉斯學派來說引發了哲學基礎危機，因為這撼動了他們之前的信仰，這種說法已經被今天的研究拋棄。還有古代傳言，說 Hippasos 因為公開了無理數的發現，被視為叛徒而被處刑，這應該是出自對歷史的誤解。」

《數學悖論與三次數學危機》