如何將連續域的控制器進行離散化實現

大家在學完了自動控制原理之後，最常見的一個問題就是，我設計好了一個控制器，得到了它的傳遞函數，那麼我該怎麼實現它？裡面都是微積分，我該怎麼編程實現它？正好今天有朋友問起了這個問題，我寫了個比較長的答案，就整理一下發在這裡吧。關於控制器增益和時滯的問題過兩天再更。

控制器的邏輯實現有連續實現和數字近似兩種，連續實現主要是指使用運放電路來實現邏輯，數字近似主要是指使用數字計算機來迭代計算。數字計算機一般是只有加法和減法的指令的，微分和積分都是靠數值演算法實現的，而控制器的邏輯也一般都是使用加減乘除的。

本篇僅討論在連續域設計好之後，如何數字離散化實現的問題。模擬控制器（連續實現）和數字控制器的優缺點及常見實現設備打算在下周探討一下。如何使用零階保持器將連續對象離散化之後，直接在z域設計控制器也不在本篇的討論內容。

最常見的兩種方法就是歐拉法和塔斯汀法(Tustins method，也叫bilinear transformation)。

歐拉法即為：

將傳遞函數中的s用這個替換即可。

這是因為s在拉普拉斯變換裡面是微分，而

而z變換裡面的z運算符即為：

微分關係即變為：

但是歐拉法用的是積分的矩形法則，效果有時並不好。所以又提出了根據梯形法則的塔斯汀法：

將C(s)裡面的s都替換掉，變成z和C(z)就行了。

可以再matlab裡面用c2d函數進行運算:

[numZ denZ]=c2d(num,den,tustin)%bilinear method

歐拉法在matlab裡面貌似已經是不支持了。

再說下z域里怎麼寫成差分方程。如果我們有控制器：

且n≥m,

將分式轉換：

兩邊同除以

注意

讓Y(z)=Y(k),U(z)=U(k)

那麼就能得到k時刻Y的值了。

舉個例子：

分式上下均除以z的平方：

進一步整理：

再把左邊的部分項挪過來：

這樣就知道k時刻控制器的輸出是多少了，能在程序裡面進行實現了。
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