地震力到底是怎麼算出來的？[Part.8]

今天繼續振型分解。上一篇我們通過特徵矩陣和質量矩陣、剛度矩陣得到了 principal 質量矩陣和剛度矩陣。

把這兩個矩陣的三個數值分別一一對應起來，0.552質量對應72.933剛度、0.859質量對應890.34剛度……剛度除以質量，然後再開平方，得到的就是頻率。

發現了什麼沒有？沒錯，我們得到的就是房子的三個自振頻率。

我們再回過來看我們的特徵矩陣是如何得到的。

注意到，我們人為規定了的特徵矩陣的第三行等於1。事實上，這只是一個人為規定，並沒有特別的意義。我們完全可以規定讓第一行都等於1，或者第二行都等於1，或者某一行都等於0.5。

比如說，我讓第二行都等於1，此時特徵矩陣和 principal 質量矩陣、剛度矩陣就變成了這樣。

這時候，principal 矩陣還是只有主對角線上不為零，但與上面相比，數都變了。但是，數變了不要緊，把它們一一對應起來，得到的還是自振頻率。

也就是說，單純的縮放特徵矩陣的某一列或者某幾列，並不會影響到我們的結果。那問題就來了，對於特徵矩陣來說，任意的縮放某一列或者某幾列，可以得到無數的結果。我們如何給出一個相對統一的標準呢？換言之，我們 normalize 特徵矩陣的時候，比較合理的目標是什麼呢？

比如說，我們可以讓目標是主質量矩陣的對角線都是單位質量，也就是都是1。換言之，我們要讓上面主質量矩陣里的 0.859、2.789、0.552 這些數都變成 1。怎麼做到呢？其實也很簡單，特徵矩陣的第一列除以主質量矩陣的第一項的平方根，第二列除以主質量矩陣第二項的平方根……

把特徵矩陣的各列分別縮放，我們就得到了這個新的特徵矩陣。

用這個新的特徵矩陣，我們就得到了 normalize 之後的質量矩陣和剛度矩陣。這種 normalize 的方法，一般叫做 mass orthonormal set。注意到，得到的質量矩陣 Mn，主對角線都為1，而剛度矩陣 Kn，主對角線的值都是自振頻率的平方，比如132.042是第一頻率11.491的平方，1036.639是第二頻率32.197的平方。

接下來，我們還得再定義一個叫做 influence vector 的向量。什麼意思呢？意思就是當地面發生靜態的單位位移的時候，各個樓層會發生多少位移？有看官說了，這不是廢話嗎，地面發生1的單位位移，不就是整個房子平移了嘛，每一層都是1唄。不錯，因為我們只考慮水平方向的地震，暫時還沒有考慮豎直方向的地震，所以對於絕大多數房子來說都是如此。

所以呢，我們這個三層房子的 influence vector 就是 1、1、1。

把我們的初始的質量矩陣跟這個影響向量相乘，我們就得到了一個質量的向量。什麼意思呢？這個向量表示的就是當房子整體平移的時候，每個樓層處發生平移的質量。對於絕大多數情況來說，其實很簡單，得到的就是每一層的質量。

說了半天，我們終於快說到振型分解了。我們上一篇說道，所謂的振型分解，就是把房子分解成三個基本振型的疊加。到底分解的是什麼呢？答案就在這裡，我們其實分解的是質量。也就是說，整個房子的質量是一層0.3、二層0.3、三層0.3。我把這些質量合理的分配到三個振型里去，比如對於一層來說，第一振型0.2、第二振型0.07、第三振型0.03，加起來等於總的0.3。對於二層也是如此，只不過可能分配的比例有所不同，三層也是一樣。

這樣一來，我們就得到了每種振型對應的質量，進而我們就能知道每種振型在地震下的反應了。問題就又來了，到底如何分配呢？

對於每個振型，我們定義兩個參數，一個是 Lh，一個是 M。

其實很簡單，因為我們每一層的質量都一樣，所謂的 Lh 就是把 normalize 之後的特徵矩陣的每一列加起來，再乘以單層的質量 0.3。

而參數M其實也就是 principal 的振型質量，也就是都是1。或者，也可以驗證計算一下，跟上面的過程一樣，只不過需要再平方一下。

把這兩個參數相除，我們就得到了各振型的地震參與係數。

地震參與係數有什麼用呢？根據這個參與係數，我們可以進一步得到各個振型對位移、地震力的貢獻。換言之，也就是把每一層的有效質量 0.3 分配到每個振型。

雖然看上去很複雜，其實是這麼算的：

也就是說，我們已經把每一層的質量分配到了各個振型。為了方便理解，我們可以把質量單位轉化為噸。

一層的300噸，分配到第一振型163噸，第二振型105噸，第三振型32噸，加起來剛好300噸。同樣，二層的300噸，第一振型294噸，第二振型47噸，第三振型-40噸。三層的300噸，第一振型366噸，第二振型-84噸，第三振型18噸。

或者，我們以300噸為單位質量，把質量在振型中的分配也 normalize。

圖像化表示的話，有效質量在振型中的分配是這樣的：

把每個振型的各層有效質量加起來，就得到了每個振型的有效質量。比如對於第一振型，0.54加0.98加1.22等於2.74，對於第二振型，0.35加0.16加-0.28等於0.23，第三振型的0.11加-0.13加0.06等於0.04。

三層房子，每層質量為1，總質量為3。而我們的第一振型的有效質量是2.74，第二振型是0.22，第三振型是0.03，加起來等於總質量3。也就是說，第一振型佔到了總質量的91.4%，第二振型佔7.5%，第三振型只佔1.1%。從上面的圖像也能很直觀的看出，第一振型佔了絕大多數有效質量，第二振型所佔很少，第三振型更是可以忽略。

在我們 part.6 的底部剪力法里，我們說近似可以用第一周期來代表房子的自振特性。換言之，我們認為整個房子的有效質量都分配到第一振型，忽略第二振型和第三振型的存在。我們今天的振型分解結果表明，第一振型佔到了91.4%，作為近似計算，可以近似認為約等於 100%。這也就是底部剪力法的合理性所在。儘管不夠精確，但是底部剪力法可以快速的近似估算地震反應的大小，為設計和分析提供了一種合理的近似方法。

得到各個振型的參與係數和有效質量之後，下一步我們就能確定地震下每種振型的反應情況了，進而將它們組合疊加成為整個房子的地震響應。欲知詳情如何，且聽下回分解。

題圖來源：Dynamics of Structures：Theory and Application to Earthquake Engineering，Anil K. Chopra

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