買筐橙子榨汁用，同樣大的一筐橙子，假設橙皮厚度相同，橙子的大小與出汁量有關係么，買哪種合適呢？

01-29

因為愛喝橙汁，經常是一次性買一大筐橙子榨汁。昨天在市場逛，發現同樣大的筐，小個頭的橙子要比大些的便宜很多。於是產生了這個問題，如果僅是榨汁用，假設橙子皮厚度一樣的話，總出汁量與橙子的大小有沒有關係呢。

如果我們討論的是一個相對（橙子來說）較大的筐，可以假設橙子無論大小都構成最密堆積，那麼橙子佔據的空間總是筐的容積的約74%；然而每個橙子當中果肉的體積佔比在果皮厚度不變的情況下是隨著橙子直徑增大而增大的，因此果肉（相對框）的總體積佔比自然也是隨著橙子直徑增大而增大；再假定出汁量只和果肉體積成正比，那自然就是大橙子更合算。

如果假設人群對橙子的偏好和其體積大小無關而只和吃到的果肉量正相關，橙子的果皮和果肉的密度基本相同（且和大小無關），同時橙子的價格是按照重量計算的，那麼同樣一筐橙子，無論橙子大小，總的橙子體積相同，總的質量也相同，大橙子賣的更貴，當市場不存在其它摩擦時，由無套利定價條件，大橙子所提供的果肉量也應該比小橙子所提供的果肉量更多。

（可能會有同學奇怪怎麼實現套利：假設大橙子所提供的果肉量不值那麼多錢，可以先借一筐大橙子賣掉，然後用賣得的錢買小橙子還回去，並保證還回去的小橙子所提供的效用等於一筐大橙子所提供的效用；假設保證了購買所需的小橙子後仍然能剩一部分錢，如此往複即可套利）

所以，理論研究，就是告訴你在什麼樣的假設下，會有什麼樣的答案；

而實證研究，就是驗證假設是否成立，以及確定實際上的答案是什麼。

後者可以考慮找 @畢導，自從上次吃了香蕉+冬棗之後，畢導可以考慮榨杯橙汁壓壓驚（笑）

不考慮科學知識，用生活經驗回答你：大橙子和小橙子榨出果汁的總量沒什麼區別，橙子出多少汁主要取決於含水量。也就是說同等體積下越重越多汁--簡直是廢話。

工具是下圖所示便宜的半電動榨汁機；橙子是村裡Amish農貿市場買的。

實驗動機是為了研究他們$9.99半加侖的橙汁有多少個橙子。

結論是：要麼他們的橙子比我們買的出汁率高，要麼是他們橙子零售價遠高於成本，不然他們是賠本的-我用了四五個橙子（$1一個）只榨出了一小杯果汁。

當然還有一個最可能的解釋是我的榨汁工具過於落後。

Amish人用的工具：

考慮真空中的球形橙，顯然是橙子越大，皮的比例越小。

原題：

假設橙子半徑無限趨近於零，那麼雖然可以裝滿一大箱子（重量最重），然是全是皮，沒有肉，所以肯定不是越小越好。

當橙子足夠大，皮的厚度可以忽略不計的時候，影響果肉的量主要靠的是排出箱子空氣，但是橙子是不能無限大的，但是箱子卻可以無限大，而且長寬高的比例也會影響結果，可以得知答案肯定不是最大，也不是最小，要給出具體解，需要要給三邊的比例。

如果是按箱賣的話，稱一下就好了。 --魯迅

如果是按斤算，肯定是越大越好，但是價格也會有一個曲線，所以兩個曲線求交點就是啦。

1、如果厚度一樣，那麼越大的橙子果皮的相對佔比就越小。

假設半徑為R，厚度為D

則最終果肉佔整體體積的比例為（R-D）^3/R^3

化簡，得1-3D/R^2+3D^2/R-D^3/R^3

那麼可以預見，當R極限逼近於正無窮（當然不會有這麼大的橘子），這個比例就是1，若R逼近D則比率接近0（就是說這橘子基本沒肉）。

2、但是既然限定是一筐橘子而不是個數相等的橘子........

話說說好的稱重賣呢？

如果限定重量一致，那麼根據我上面的結論，還是小橘子不划算。

如果限定一筐，那麼問題在於小橘子可以在框子里裝更多，那麼在個數上多出來的小橘子的果肉能否彌補單個在體積上的損失。

PS：實際工業生產中，榨汁這種事不光是榨汁，還會放入一定的果膠酶和果膠甲酯酶分解果肉以提高出汁率。最重要的還是要看水分，最直觀地說，相同質量的西瓜一定比蘋果出汁多。加工完（也就是榨完）的果汁原漿最後還是要稀釋添加輔料才能成為我們日常見到的果汁飲品。

自己先回答下，僅是推測，請朋友們介紹下數學原理。

小橙子之間的空隙，相比大橙子小一些，在筐大小相等、橙皮厚度相同的前提下，果肉總量還是小橙子多一些。