泡利矩陣如何推導?

01-29

謝邀

量子力學放了很長時間了，簡單回想了一下

量子力學中的自旋角動量，是一個和角動量性質相同，但是和空間位置無關的量

推導思路應該是這樣的

首先，以角動量z軸方向的本徵態為基

然後，構造 $s_{+}= s_{x}+ is_{y},s_{-}= s_{x}- is_{y}$ ，這兩個算符就是增減算符，然後可以推導出矩陣的次對角線矩陣元

最後，角量子數為 $frac{1}{2}$ 的泡利矩陣就是常見的二維泡利矩陣啦

從自旋算符出發

註：自旋在非相對論性的量子力學中，是根據實驗事實（斯特恩-蓋拉赫實驗）人為地引入自旋算符，所以下面關於自旋算符的定義就不要深究了，當成量子力學的基本假設接受下來就好。

由於對稱性，角動量可以用下式定義：

（1） $egin{equation} left[J_i,J_j ight]=ivarepsilon_{ijk}J_k end{equation}$

其中 $J$ 可以代表 $S,L$ 等各種角動量。

＃關於對稱性可以參看一些群論書，這裡就不講了（推薦陳金全的《群表示論的新途徑》）

所以定義自旋算符：

（2） $vec{s}=dfrac{hbar}{2}vec{sigma}$

由（1）式有

（3） $left[sigma_i,sigma_j ight]=2ivarepsilon_{ijk}sigma_k$ 或 $vec{sigma} imesvec{sigma}=2ivec{sigma}$

由於 $vec{s}$ 沿著任何方向的投影只能取 $pm dfrac{hbar}{2}$ 兩個值（通常說的自旋向上和自旋向下），所以 $vec{sigma}$ 只能取 $pm 1$ ，繼而 $vec{sigma}$ 滿足

（4） $sigma^2_x=sigma^2_y=sigma^2_z=1$

如果我們用 $sigma_y$ 左乘 $sigma_ysigma_z-sigma_zsigma_y=2isigma_x$ ，得

（5） $sigma_z$ $sigma_z-sigma_ysigma_zsigma_y=2isigma_ysigma_x$

用 $sigma_y$ 右乘 $sigma_ysigma_z-sigma_zsigma_y=2isigma_x$ ，則得

（6） $sigma_ysigma_zsigma_y-sigma_z=2isigma_xsigma_y$

將（5）（6）式相加可得一個很重要的關係式（反對易關係）

（7） $sigma_xsigma_y+sigma_ysigma_x=0$

同理可得 $sigma_ysigma_z+sigma_zsigma_y=0$ 和 $sigma_zsigma_x+sigma_xsigma_z=0$

以上是Pauli算符的抽象代數式，現在選一個具體表象把它表示成矩陣形式，習慣性選擇 $sigma_z$ 表象（該表象下 $sigma_z$ 本徵值只取 $pm 1$ ）。為什麼呢？方便計算唄！如果你有能力可以試著在 $sigma_x$ 或 $sigma_y$ 表象下表示成矩陣形式，會更複雜一些。

$hereforesigma_z=left( egin{array}{c c} 10\ 0-1\ end{array} ight)$ ，對角元上即是本徵值

設 $sigma_x=left( egin{array}{c c} ac\ bd end{array} ight)$ ，考慮到 $sigma_xsigma_z=-sigma_zsigma_x$ ，得

$left(egin{array}{c c} ab\ -c-d end{array} ight)= left(egin{array}{c c} -ab\ -cd end{array} ight)$ $herefore a=d=0$

再根據厄米性要求 $sigma^dagger_x=sigma_x$ ，可得 $c=b^*$ ，所以

$sigma_x= left(egin{array}{c c} 0b\ b^*0 end{array} ight)$

又 $sigma^2_x=left(egin{array}{c c} 0b\ b^*0 end{array} ight)left(egin{array}{c c} 0b\ b^*0 end{array} ight)=left(egin{array}{c c} |b|^20\ 0|b|^2 end{array} ight)=1$

所以 $|b|^2=1,quad b=e^{ialpha}$

$alpha$ 為相位不確定性，但是習慣上取 $alpha=0$

所以

$sigma_x=left(egin{array}{c c} 01\ 10 end{array} ight)$

再由 $sigma_y=-isigma_zsigma_x=left(egin{array}{c c} 0-i\ i0 end{array} ight)$

我們求得了Pauli矩陣。

＃以上只是初等量子力學，全部內容均來自曾謹言先生的《量子力學（卷1）》。而自旋算符究竟是怎麼來的，需要學習高等量子力學，從Dirac方程（相對論量子力學方程）的導出說起，相對論量子力學理論中電子自旋是自然出現的，不像這裡非相對論理論那樣，必須根據實驗事實認為引入自旋算符。這些內容也許日後會再更新。。

泡利矩陣的推導需用到以下三點：1.泡利矩陣是單位矩陣 2.泡利算符 $sigma z$ 的本徵值只能取 $pm$ 1，且泡利算符具有反對易性 3.泡利算符是厄米算符。通過以上三點的數學推導就可以寫出在 $sigma z$ 表象中的泡利矩陣。

可以更詳細的表述么？你的意思是：

1. 已知角動量的對應關係，進而推導矩陣？

2. 還是，pauli是如何推導出這個矩陣的？

假定Pauli矩陣為 $sigma_i = egin{pmatrix} a_i ic_i \ -ic_i b_i\ end{pmatrix}$ ，這裡 $a_i,b_i,c_i$ 都是實數 $i=1,2,3$ 。

然後帶入這些Pauli矩陣需要滿足的對易關係進行計算即可。

pauli 矩陣式不需要推導的，只是用矩陣來表示算符之間的關係或者算符（當然所選取的矩陣要滿足對易關係等等了）